Неявный способ построения функций форм треугольных элементов

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Тема 7. Конечные элементы с нелинейной аппроксимацией Наложение ограничений на конечно-элементную систему. L – координаты. Треугольные конечные элементы с нелинейной лагранжевой аппроксимацией. Треугольные конечные элементы с нелинейной эрмитовой аппроксимацией. Конечные элементы для трехмерных задач. Вывод функций форм треугольного конечного элемента с квадратичной лагранжевой аппроксимацией. Проверка выполнения требований к функциям формы треугольного конечного элемента с кубической эрмитовой аппроксимацией. L – координаты Для треугольных элементов вычислительной сетки наиболее часто используются естественные координатные системы, которые определяются с помощью трех относительных координат , , , которые изображены на рис 1., а. Каждая из перечисленных координат – это отношение расстояния от точки треугольника до одной из его сторон к длине высоты h, которая опускается на эту сторону из противоположной вершины треугольника (рис. 1, б). Очевидно, что такие координаты , , могут принимать значения из отрезка [0;1]. На рисунке 1,в показаны линии, вдоль которых координата принимает одинаковые значения. Эти линии параллельны той стороне, от которой измеряют данную координату. Описанные выше координаты , , называют L-координатами. Значения L-координат дают относительные величины площадей треугольников, на которые разбивается элемент (рис. 1, г). L1-координата произвольной точки В, показанной рисунке 1,г, дает отношение заштрихованного треугольника Bjk к площади всего треугольника ijk. Рис.1. L-координаты Площадь треугольника ijk определяется соотношением , а площадь заштрихованного треугольника . Тогда . Для других координат можно записать аналогичные формулы , . Равенство дает нам . Последнее уравнение показывает связь между тремя координатами. Его вывод очевиден, так как в плоском случае не может быть трех независимых координат, а произвольная точка описывается только двумя координатами. Дальнейшее изучение этих координат показывает, что они являются функциями формы для треугольного симплекс-элемента. При деформации элемента L-координаты не изменяются! По сути L-координаты удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к функциям формы, то есть их можно использовать в качестве функций формы элемента: , , ! На самом деле . Для других координат выполняются такие же соотношения. Далее если записать зависимости между декартовыми координатами точки, ее L-координатами и координатами узлов элемента, то получим СЛАУ и разрешить их относительно , , , то получим в итоге соотношения, идентичные тем, которые были получены для функций формы ранее , где Основное преимущество таких координат состоит в том, что при их использовании становится возможным применять следующие интегральные формулы. Они применяются для вычисления интегралов вдоль стороны конечного элемента, а также по его площади. Для L-координат установлены следующие соотношения: , , где – дуга стороны элемента, а её длина! В этом случае вектор постоянных массовых сил для симплекс-элемента, например, можно вычислить следующим образом: . В этот вектор будут входить интегралы вида: . В данном примере координата L1 соответствуют функции формы Ni. Так как в подынтегральное выражение функция формы Nj, Nk не вошли, то показатель степени у координаты равен нулю. Для постоянной распределённой по стороне нагрузки тоже можно записать подобные вычисления: . , где – расстояние между и узлами.