Свойства непрерывных функций. Сохранение знака. Локальная ограниченность.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Т: Если f(X) и g (x) непрерывны в точке a, то их сумма\разность\произведение\частное тоже непрерывны в этой точке

Т: Если f(X) непрерывна в точке а и ∃ окрестность в точке а и ∃M>0;∀xϵU(a) : |f(x)| <M.

Т: Если f(X) непрерывна в точке а и f(a) ≠0, то ∃U(a) ; ∀xϵU(a): |f(x)| > .

Непрерывность сложной функции.

Пусть ϕ(х) отображает мно-во Х в мно-во У, соответственно z=f(y) отображает УàZ, тогда говорят

Z=f(ϕ(х)) называется сложной функцией ХàZ

Z= F1(F2(….)) суперпозиция функций.

Т: Пусть y=ϕ(х)непрерывна в т х=а, а функция z=f(y) непрерывна в т y=b, тогда z=f (ϕ(х))=F(x) непрерывна в т х=а.

31)Первый замечательный предел.

32)Второй замечательный предел.

33)Теорема Коши о нуле непрерывной функции.

Т: Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и числа f(a), f(b)≠0 и имеют разные знаки, тогда ∃, по крайней мере, одна тоска Сϵ(a,b), в которойf(c)=0.

C: : Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b], f(a) = A, f(b) = B и пусть A≠B, пусть С – произвольное число, расположенное между А и В. Тогда ∃, по крайней мере, одна тоска С ϵ(a,b), в которойf(c)=С.

34)Непрерывность обратной функции.

Т: Пусть f(x) строго возрастает на [a,b] и непрерывная на этом отрезке и пусть α=f(a) β=f(b), тогда

1) образом отрезка[a,b] при отображенииy=f(x) является отрезок[ α,β ]

2) ∃обратная функция x=g(y) строго возрастающая однозначная и непрерывная на отрезке[ α,β ]

Л: Пусть f(x) строго возрастает на [a,b] и отображает этот отрезок на [ α,β ], тогда функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]

35)Непрерывность элементарных функций.

Т: Всякая основная элементарная функция непрерывна на области определения.

36)Сравнение порядков бесконечно малых функций.

Бмфα(x) называется бмф более высокого порядка, чем бмфβ(x) при xàa , если , значит β(x) более низкого порядка.

Бмф при xàa α(x) и β(x) называются бм одного порядка при xàa Если ∃ U(a) такая окрестность в точки а , а так же ∃ M>0, m>0 ; ∀x ϵ U(a) , x=a : m ≤ ≤M. То есть одну бм, можно оценить через другую. В частности ∃ , где с- конечное число и с≠0, то эти бм имеют один и тот же порядок.