Непрерывность функции в точке. Примеры непрерывности.
Множества и операции над множествами.
Множество – совокупность объектов произвольной природы. Объекты, входящие в состав множества -элементы этого множества.
Подмножество -
Объединение или сумма -
Пересечение или произведение -
Разность -
Действительные числа. Числовые множества.
Что это такое
Операции
Интервалы\отрезки
3) Свойства действительных чисел.∀ε> 0
+ (4)
* (4)
*+
Упорядоченность
Беспрерывность
Тривиальность
Ограниченные и неограниченные множества.
Множество Х – ограничено сверху ó∃ М ϵ R ; ∀ хϵХ : х≤ М / снизу…
Множество Х наз ограниченным (2 варианта).
Лемма об эквивалентности определений.
Множество Х наз неограниченным –
Максимальное и минимальное число во множестве.
Т : если максимум существует, то он единственный и ограничивает сверху Х.
Точные верхние и нижние грани числовых множеств. Теорема о существовании точной грани.
Если мно-во ограничено сверху, то оно имеет бесконечное число верхних граней.
Sup(x) andinf (x)
Число М называют точной верхней гранью, если оно удовлетворяет:
1) ∀ хϵХ :х≤М
2) ∀ε> 0∃хϵХ :x> M-ε
T: Всякое ограниченное сверху( не пустое) множество Хϵ R имеет точную верхнюю грань.
Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Пусть каждому натуральному числу по некоторому закону сопоставлено действительное число хn, тогда говорят, что задана числовая последовательность.
|
|
|
Числовые операции.
Определение ограниченности (2) ∃ M,m;∀nϵN : m≤хn≤M∃ A ;∀nϵN : |хn| ≤A
Доказательство эквивалентности определений.
Неограниченные
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Отношения между бесконечно большими и неограниченными последовательностями.
{αn}– бмп, if∀ε> 0∃N=N(ε) ;∀n>N(ε) : |αn| <ε
{βn} – ббп, if ∀A> 0 ∃ N=N(A) ; ∀n>N(A) : |βn| >A
Любая ббп является неограниченной (видно из определения) !Обратное утверждение неверно. {010203..}
8) Свойства бесконечно малых последовательностей. Связь бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Сумма/разностьбмп = бмп. ( по определению бмп и ε=0.5) + (неравенство треугольника)
Если все элементы ббп отличны от 0, то 1/ббп = бмп
Если все элементы бмп отличны от 0, то 1/бмп = ббп
Л: Произведение бмп на ограниченную = бмп (ε/Aпо определению)
Следствие из Л: с*бмп = бмп, где с - константа
9) Теорема о промежуточной бесконечно малой последовательности.
Т: Пусть {αn} и {βn} – бмп и {γ} – промежуточная, тогда ∀nϵN :αn≤γn≤ βn
|
|
|
10) Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Число а называют пределом последовательности {хn}, если {хn - а} – бмп.
Число А называют пределомпоследовательности {хn}, если ∀ε> 0∃N=N(ε) ;∀n>N(ε) : |хn - А| <ε
Число А называют пределомпоследовательности {хn}, если в любой εокрестности точки А находятся все элементы этой последовательности, начиная с какого-то номера.
Если числовая последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.
Т: Сходящаяся посл. может иметь только один предел (от противного)
Т: Сходящаяся посл. ограничена (через определение и неравенство треуг) (обратное – неверно) {(-1)nn}
11) Свойства пределов связанные, с арифметическими операциями над последовательностями.
Т: Если {хn} и {yn}сходящиеся, то их +-/*тоже сходящиеся. (по определению предела и свойства бмп)
Л: Если 
, то{ 
} –ограниченная.
12) Свойства пределов последовательностей, связанные с переходом к пределу в неравенствах.
Т: Пусть 
и ∀nϵN : xn≤ynТогда а≤b. (от противного)
Т: Если все элементы сходящейся последовательности {хn}принадлежат отрезку [a,b], то и предел
|
|
|
будет также принадлежать этому отрезку.
Т: Пусть ∀nϵNхn≤уn≤ znи пусть∃ = 
тогда 
.
13) Монотонные последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности.
{хn}называется неубывающей, если ∀nϵN : хn+1 ≥xn . Ограничена снизу своим первым элеметом.
Т: Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходящаяся.
Док-во: ( Через точную верхнюю грань и определение монотонности)
14) Число е.
(через Бином Ньютона доказываем, что возрастает, и что ограничена сверху)
15) Принцип вложенных отрезков.
Пусть дана бесконечная система отрезков δn=[an,bn] nϵNвложенных друг в друга, то есть δn+1>δn
C∀nϵN, с длинами стремящимися к нулю. 
. Тогда ∃ и при том единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам. (по признаку сходимости монотонной последовательности, а потом единственность от противного)
16) Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема Больцана-Вейерштрасса.
Пусть последовательность, выведем из нее бесконечное число с номерами (1<2<3….). В результате получаем новую последовательность, которая называется подпоследовательностью.
Пределы подпоследовательностей – частичные пределы.
|
|
|
Л: Пусть {хn} сходится и имеет предел =а. Тогда любая ее подпоследовательность сходится также сходится и имеет предел = а. (Определение сходимости и опр. подпоследовательности)
Утв: Всякая сходящаяся последовательность ограничена, обратное утв неверно
Т Б-В: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюсяподпос-сть
(Разбиваем на отрезки, тС – единственная, кот принадлежит всем, значит все сходится к ней)
Л: Для любой неограниченной последовательности можно выделить ббп (по опрббп)
17) Критерий сходимости в последовательностях в терминах частичных пределов.
Т: Для того, чтобы ограниченная последовательность являлась сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она имела единственный частичный предел.
(необходимаость – если сходится, значит имеет частичный предел.)
(достаточность – от противного берем обратное определение предела)
18) Верхний и нижний предел последовательности. Существование верхнего предела у ограниченной последовательности.
Верхний предел огр сверху последовательности, называется наибольший из частичных пределов данной п-сти)
Т: M=supLи m = infLявляются частичными пределами ограниченной посл-ти{хn}. (через жопу)
Л: Ограниченнаяпосл-ть сходится титт, когда ее верхний и нижний предел совпадают.
19) Характеристика верхнего предела на языкеN – ε
Для того, чтобы число М являлось верхним пределом ограниченной {хn} необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующим условиям:
1) ∀ε> 0∃N=N(ε) ;∀n>N(ε) : хn<ε + М (Правее М находится конечное число элементов)
2) ∀ε> 0∃N; n0>N :M – ε<x0(Сущ элементы с огромными номерами, лежащие близко к М)
20) Критерий Коши сходимости последовательностей.
{хn} называетсяфундаментальной, если∀ε> 0 ∃ N=N(ε) ; ∀n,m>N(ε) : |xn-xm| <ε
{хn} называетсяфундаментальной, если∀ε> 0 ∃ N=N(ε) ; ∀n>N(ε) и∀ Р≥0 : |xn+р-xn| <ε
Т: Для того, чтобы {хn} являлась сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фунд-ной.
( сход ->фунд: опр предела + опрфунд и ε/2)
( фунд->сход: 1) раз ограничена, значит по Б-В из нее можно выделить сход п-псть част предел)
2)Что {хn} сходится к этому частичному пределу.
21) Понятие функции. Способы задания функции.
Пусть X 
и каждому элементу из мно-ва Х по некоторому закону сопоставлено действительное число f(x)
Значит задана числовая функция y=f(x).
Графиком функции y=f(x) называется мно-во точек на плоскости вида (x, f(x)), где х 
, где Х – Область определения функции.
Способы задания:
Формула (аналитический).
Табличный.
Графический способ.
22) Предел функции. Эквивалентность определений пределов функции. Примеры.
Число b называется пределом функции f(x)в точке x=a(или при xстремящемся к а), если ∀{хn} сходящейся к числу а ; ее элементы хn ≠ а соответствующая последовательность {f(xn)} сходится к b. ( по гейне)
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением быть может самой точки а. Число bназывается пределом функции f(x) в точке х=а (х→а)Если ∀ε> 0∃ δ=δ(ε)>0 ; ∀х 0<|x-a|<δ : |f(x) – b| <ε
Т: Определения эквивалентны.
Примеры: lim 2x = a; функция дерифле.
23) Свойства пределов функций, связаные с арифметическими операциями и переходом в неавенства.
Т: Пустьlimf(x) = A, limg(x) = B, тогда их сумма\разность\произведение\деление\ равна …
T: Пустьlimf(x) = A, limg(x) = Bи∃ U(a) ; ∀xϵU(a), x≠ а : f(x) ≤ g(x), тогдаA ≤ B.
Т: lim f1(x) = b, lim f2(x) = b и∃ U(a) ; ∀xϵU(a), x≠ а : f1(x) ≤ g(x) ≤ f2(x), тогдаlim g(x) = b.
24) Локальная ограниченность. Критерий Коши о существовании предела.
Т: Пустьlimf(x) = b, b – конечное число, тогда ∃U(a) и М>0 ; ∀xϵU(a), x≠ а :|f(x)|≤M.
Т: Для того, чтобы ∃limf(x) необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была определена на некоторой окрестности точки а, кроме быть может самой точки а, и для ∀ε> 0∃ U(a);∀x’x”ϵU(a) x’≠a, x”≠a : f(x’ ) – f(x”) <ε
25) Теорема о сохранении знака функции, имеющей предел.
Т: limf(x) = b, где b конечное число и b≠0, тогда ∃ U(a) ; ∀xϵU(a), x≠ а : |f(x)|> 
26) Бм и бб функции. Связь функций имеющих предел.
Функция α(х) называется бмф, если limα(х) = 0.
Л: Конечный предел limf(x) = b существует титтк функцию f(x) можно представить в виде f(x) = b + α(х)
Т: для бмф справедливы свойства, что и для бмп.
Т: ∑ и ∏ конечного числа бесконечно малых при х →а функций, а также ∏ бмф на ограниченную, так в в же является бмф при х →а.
Функция f(x) называется ббф, если∀M>0 ∃ U(a) ; ∀xϵU(a), x≠ а :|f(x)|>M.
Iff(x) – бмф, то 
– ббф.
Iff(x) – ббф, то – бмф.
26) Односторонний предел. Критерий существования предела в терминах одностор пределов
Число С называется пределом функции f(X) справа(слева) if∀{хn} ; хn>a (хn<a) : limf(хn) = C.
Конечное число С называется limf(x) = aсправа(слева) Если ∀ε> 0∃ δ=δ(ε)>0 ; ∀x ; a<x<a+ δ (a- δ<x<a)
: |f(x) – c | <ε.
Т:уf(x) ∃предел в точке х = а титтк в этой точке ∃ предел справа и предел слева, притом они равны f(a-0)=f(a+0)=c, тогда limf(x) = c.
Непрерывность функции в точке. Примеры непрерывности.
f(x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в некоторой окрестности точки x0 в том числе и в самой x0, Тогда справедливо : limf(x) = f(x0)
f(x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в некоторой окрестности точки x0 в том числе и в самой x0 , Тогда справедливо : 
Эквивалентность определений.
Примеры: y=cy=xy=sinx
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 262; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!