Спектральная плотность стационарного случайного процесса

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

Корреляционная функция стационарного процесса

Корреляционная функция случайного процесса определяется как математическое ожидание произведения двух центрированных сечений процесса, взятых в моменты t₁ и t₂. При этом математическое ожидание вычисляется с использованием двумерной плотности вероятности . Для стационарного случайного процесса двумерная плотность вероятности и, соответственно, корреляционная функция зависят не от t₁ и t₂в отдельности, а только от их разности = t₂- t₁. В соответствии с этим корреляционная функция стационарного процесса определяется выражением

(3.1)

где - математическое ожидание стационарного процесса; х₁, х₂ - возможные значения случайного процесса соответственно, в моменты времени t₁, t₂ ; = t₂ – t₁ - интервал времени между сечениями; - двумерная плотность вероятности стационарного процесса. Второе выражение для получено путём раскрытия квадратных скобок первого выражения и учета свойств математического ожидания.

В научно-технической литературе используется также такая характеристика случайного процесса, как ковариационная функция K (t), под которой понимается математическое ожидание произведения двух значений процесса, взятых соответственно в моменты t₁ и t₂:

(3.2)

так что справедливо соотношение

(3.3)

Если , то понятия и совпадают. Если же дополнительно обладает эргодическим свойством, то корреляционная функция может быть определена по одной длинной реализации:

(3.4)

где Т - интервал наблюдения единственной реализации x(t) процесса ; - эта же реализация x(t), задержанная на время .

Формула (3.4) может быть положена в основу построения Структурная схема устройства, измеряющего корреляционную функцию, которое называется коррелометром. Для построения коррелометра требуются перемножитель, устройство задержки с переменным временем задержки и интегратор (рис. 3.1). Это устройство измеряет или в зависимости от того, равно нулю или нет.

Рис. 3.1

Корреляционная функция стационарного случайного процесса, как и вообще корреляционная функция случайного процесса, является действительной функцией аргумента . При этом характеризует с двух сторон. Во-первых, определяет среднюю удельную мощность флюктуаций. А во-вторых, позволяет судить о степени линейной связи между двумя сечениями случайного процесса, отстоящими друг от друга на интервал времени . Размерность совпадает с размерностью квадрата случайного процесса. Рассмотрим свойства корреляционной функции.

1. Корреляционная функция при = 0 равна дисперсии процесса

(3.5)

Это свойство вытекает непосредственно из формулы (3.1), если в ней положить = 0.

2. Корреляционная функция стационарного процесса является чётной функцией аргумента :

(3.6)

Это свойство непосредственно вытекает из определения стационарного процесса, для которого важны не сами значения моментов и t₂, а расстояние во времени одного сечения от другого |t₂-t₁ |.

3. Корреляционная функция при любом t не может превзойти своего значения при = 0:

(3.7)

Это свойство физически означает, что наибольшая степень линейной связи обеспечивается между одним и тем же сечением, то есть при =0. Правда, если является периодическим процессом, то может найтись еще какое-либо , соизмеримое с периодом процесса, для которого выполняется жесткая функциональная связь между и . Поэтому в формуле (3.7) в общем случае может выполняться не только неравенство, но и равенство.

4. Корреляционная функция может быть представлена в виде

(3.8)

где r(t) нормированная корреляционная функция, имеющая смысл коэффициента корреляции, зависящего от и заключенная в пределах

. (3.9)

Она характеризует только степень линейной связи между сечениями случайного процесса, взятыми через интервал . В свою очередь, дисперсия процесса характеризует только среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса.

5. Для широкого класса стационарных случайных процессов удовлетворяется условие

. (3.10)

Физический смысл выражения (3.10) состоит в утверждении того факта, что линейная связь между сечениями случайного процесса при значительном удалении одного сечения от другого во времени отсутствует.

6. На практике важным параметром является интервал корреляции , который характеризует эффективную ширину корреляционной функции. С общих позиций интервал корреляции определяется выражением

(3.11)

Численно равно основанию прямоугольника с высотой , имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой , при . Интервал корреляции определяет тот временной интервал между сечениями случайного процесса , при превышении которого эти сечения считаются некоррелированными.

Спектральная плотность стационарного случайного процесса

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса называется функция частоты , являющаяся прямым преобразованием Фурье от корреляционной функции этого процесса

(3.12)

Если существует прямое (3.12) преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной определяет :

(3.13)

Формулы (3.12) и (3.13) принимают симметричный характер, если вместо круговой частоты w использовать частоту f. При этом , а . Тогда имеем:

(3.14)

(3.15)

Воспользовавшись выражением (3.15), дадим физический смысл . Положив =0, получим

(3.16)

Как известно, определяет среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса. Поэтому функция частоты , от которой берется интеграл по всем частотам, в результате чего находится , характеризует среднюю мощность процесса, приходящуюся на единицу полосы частот. Размерностью является размерность квадрата процесса, поделенная на размерность частоты. Если напряжение, то размерностью является [В²/Гц]. Заметим, что размерность совпадает с размерностью энергии [В²/Гц] = [В²С]. Поэтому в литературе иногда называют энергетическим спектром.

Рассмотрим основные свойства спектральной плотности случайного процесса.

1. Спектральная плотность стационарного случайного процесса является действительной неотрицательной функцией частоты:

(3.17)

Это свойство вытекает из физического смысла , определяющей средний квадрат флюктуаций в единичной полосе частот. Для действительного процесса - средний квадрат флюктуаций есть всегда положительное число.

2.. Спектральная плотность стационарного процесса является четной функцией частоты:

(3.18)

Это свойство обусловлено тем, что преобразование Фурье от четной функции, каковой является , есть, в свою очередь, четная функция.

3. Пару преобразований Фурье, связывающую между собой спектральную плотность и корреляционную функцию, можно записать в виде косинус-преобразования. Используя это свойство, запишем выражения (3.12), (3.13) и (3.14), (3.15) в виде:

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

Формулы (3.19), (3.20) и (3.21), (3.22) называются формулами Винера - Хинчина по фамилиям ученых, которые впервые их получили.

4. Реальные радиотехнические устройства не различают знак частоты. Два колебания с одинаковой амплитудой и частотами, отличающимися только знаком, всегда воспринимаются устройством, как одно колебание с положительной частотой, но с удвоенной амплитудой.

Поэтому если - спектральная плотность, определенная на , а по-прежнему определена на всей оси частот от до , то имеет место формула

(3.23)

Спектральную плотность , определенную на , будем называть физическим спектром, а спектральную плотность , определенную на , - математическим спектром случайного процесса.

Формулы Винера-Хинчина для запишутся в виде:

(3.24)

(3.25)

На рис. 3.2 показана связь между и для случая низкочастотного широкополосного (рис. 3.2,а) и высокочастотных узкополосных процессов (рис. 3.2,б).

Рис. 3.2

5. Ширина оценивается эффективной шириной спектра :

(3.26)

которая определяет основание прямоугольника с высотой 1, имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 472; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!