Тема: Корреляционная зависимость между двумя случайными величинами (количественными)

Вариант 7

Тема: Статистические вариационные ряды. Выборочные числовые характеристики

Упр. 1.Случайная величина X - количество элементов танцевальной композиции, освоенных обучающимися. В результате наблюдения получены следующие первичные данные о X (балл):

8 12 10 13 12 12 11 14 11 13 12 13 11 10 11 8 12 11 12 14 13 12 13 11 12 13

Определить

- объем выборки n

- вариационный ряд частот

- вариационный ряд относительных частот

Построить

- полигон частот

Вычислить

- выборочное среднее значение случайной величины ^*. Полученное значение округлить до целого значения и оценить погрешность вычисления ^*;

- выборочную дисперсию D_в^*;

- выборочное среднее квадратичное отклонение σ^*(Х)

Указать

- наименьшее и наибольшее значение X

- реже встречаемое значение X

- чаще встречаемое значение X

Сделатьвывод о количестве элементов танцевальной композиции, освоенных обучающимися (через интерпретацию всех полученных числовых результатов).

Решение

1. Объем выборки: n = 26

Вариационный ряд частот:

x_i	8	10	11	12	13	14
n_i	2	2	6	8	6	2

Дополним вариационный ряд частот относительными частотами (ω_i = n_i/∑ n_i) и получим вариационный ряд относительных частот.

x_i	8	10	11	12	13	14
n_i	2	2	6	8	6	2
ω_i	0,08	0,08	0,23	0,30	0,23	0,08

2. Построим полигон частот (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – Полигон частот

3. Вычислим сновные показатели. Для этого сведем необходимые предварительные расчеты в таблицу 1.

Таблица 1. Расчетные данные

x_i	n_i	x_i ∙ n_i	x_i – x_в^*	(x_i - x_в^*)²	(x_i - x_в^*)² ∙ n_i
8	2	16	-4,00	16,00	32,00
10	2	20	-2,00	4,00	8,00
11	6	66	-1,00	1,00	6,00
12	8	96	0,00	0,00	0,00
13	6	78	1,00	1,00	6,00
14	2	28	2,00	4,00	8,00
∑	26	304	-	-	60,00

Найдем выборочное среднее.

Округлим найденное значение до целого, таким образом получим .

Оценим абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:

Относительная погрешность вычислений находится по формуле:

Найдем выборочную дисперсию.

Выборочное среднее квадратичное отклонение:

4. Характеристика выборки.

Размах выборки:

Реже встречаемое значение X = 8, 10, 14 (n=2)

Чаще встречаемое значение X = 12 (n = 8)

Вывод.Из 26 обучающихся 12 композиций освоили 8 человек. Максимальное количество композиций равное 14 освоили 2 обучающихся, минимальное количество освоенных композиций равно 8 (у 2-их обучающихся). В среднем по группе было освоено 12 композиций. Каждое значение ряда отличается от среднего значения в 12 композиций в среднем на 1,52 композиции.

Тема: Статистические интервальные вариационные ряды. Выборочные числовые характеристики

Упр. 2.В образовательном учреждении изучался уровень знаний обучающихся по содержанию раздела. С этой целью обучающимся был предложен тест. По результатам тестирования получена первичная информация о количестве баллов, набранныхкаждым обучающимся:

12, 42, 34, 48, 41, 35, 42, 30, 48, 24, 50, 41, 27, 38, 36, 15, 23, 31, 49, 43, 37, 24, 50, 41, 17, 45, 29, 14, 43, 29, 40, 32, 47, 39, 25.

Найти

- объем выборкиn

- максимальное и минимальное количество набранных баллов, размах значений X

- количество разрядов (частичных интервалов) и длину разряда для построения интервального статистического рядачастот

Определить

- статистический вариационный интервальный ряд частот

Построить

- гистограмму частот случайной величины Х;

Вычислить

- выборочное среднее значение ^*.

Сделать вывод о количестве набранных баллов при тестировании (через интерпретацию всех полученных числовых результатов о величине Х).

Решение

1. Характеристика выборки.

Объем выборки: n = 35

Размах выборки:

Определим количество интервалов по формуле Стэрджесса:

l = 1 + 3,322lg n

l = 1 + 3,322lg 35 = 6,13 => l = 7

Определим длину интервала

Так как речь идет о целых баллах, будет целесообразно округлить длину интервала и принять ее равной h = 6.

2. Определим статистический вариационный интервальный ряд частот.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал и сведем все в таблицу.

i Интервал, x_i<x<x_i+1 Частота попадания в интервал, n_i

1 12 – 18 3

2 18 – 24 2

3 24 – 30 6

4 30 – 36 5

5 36 – 42 8

6 42 – 48 6

7 48 - 54 5

3. Построим гистограмму частот случайной величины X (см. рисунок 2).

Рисунок 2 – Гистограмма частот

4. Вычислим среднее выборочное и выборочное среднее квадратичное отклонение.

Промежуточные действия, необходимые для вычисления среднего выборочного и дисперсии, целесообразно свести в таблицу 2.

Таблица 2. Расчетные данные

i

Интервал
Середина интервала, x_i Частота попадания в интервал, n_i x_i∙ n_i x_i – x_в^* (x_i - x_в^*)² (x_i - x_в^*)² ∙ n_i

1

12 – 18

15
3
45

-20,74

430,27

1290,80

2

18 – 24

21
2
42

-14,74

217,35

434,70

3

24 – 30

27
6
162

-8,74

76,44

458,63

4

30 – 36

33
5
165

-2,74

7,52

37,62

5

36 – 42

39

8

312

3,26

10,61

84,87

6

42 – 48

45

6

270

9,26

85,69

514,17

7

48 - 54

51

5

255

15,26

232,78

1163,90

∑

-

35

1251

-

-

3984,69

Найдем выборочное среднее.

Найдем выборочную дисперсию.

Выборочное среднее квадратичное отклонение.

Вывод.Средний балл учащихся, прошедших тестирование, составил 35,74. Каждое значение ряда отличается от среднего значения в среднем на 10,67 балла.

Тема: Корреляционная зависимость между двумя случайными величинами (количественными)

Упр. 3.В таблице приведены первичные статистические данные о времени подготовки обучающегося к тестированию по некоторому учебному содержанию и результатах тестирования. Пусть X –время подготовки (в минутах); Y –количество баллов, полученных при тестировании.

N ученика 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 50 60 50 95 30 45 50 80 90 35

Y 20 14 13 18 20 15 11 14 15 18

Необходимо:

а) указать объем выборки n;

б) вычислить среднее выборочное значение и ;

в) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона r_xy между величинами Х и У;

г) сделать вывод о наличии и силе зависимости между временем, затраченным учеником на подготовку к тестированию, и результатом выполнения теста.

Решение

а) Объем выборки n = 10.

б) Вычислим среднее выборочное значение x_ви y_в.

Промежуточные действия, необходимые для вычисления средних значений и коэффициента корреляции r_xy, проведем в табличном виде (см. таблицу 3).

Таблица 3. Расчетные данные.

i x_i y_i x_i – x_в (x_i - x_в)² y_i – y_в (y_i - y_в)² (x_i - x_в)(y_i - y_в)

1 50 20 -8,5 72,25 4,2 17,64 -35,7

2 60 14 1,5 2,25 -1,8 3,24 -2,7

3 50 13 -8,5 72,25 -2,8 7,84 23,8

4 95 18 36,5 1332,25 2,2 4,84 80,3

5 30 20 -28,5 812,25 4,2 17,64 -119,7

6 45 15 -13,5 182,25 -0,8 0,64 10,8

7 50 11 -8,5 72,25 -4,8 23,04 40,8

8 80 14 21,5 462,25 -1,8 3,24 -38,7

9 90 15 31,5 992,25 -0,8 0,64 -25,2

10 35 18 -23,5 552,25 2,2 4,84 -51,7

∑ 585 158 - 4552,50 - 83,60 -118,0

Найдем выборочные средние.

в) Вычислим выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона r_xy между величинами Х и У.

Расчет коэффициента корреляции Пирсона проводится по формуле:

г) Основываясь на данные справочной таблицы (см. таблицу 4), сделаем вывод о наличии и силе зависимости между временем, затраченным учеником на подготовку к тестированию, и результатом выполнения теста.

Таблица 4. Справочные значения коэффициента.

Значение коэффициента r_xy Ключ к определению силы связи по значениям коэффициента корреляции r_xy Значение коэффициента r_xy Ключ к определению силы связи по значениям коэффициента корреляции r_xy

± (0 - 0,15) Связь отсутствует ± (0,41 – 0,50) Связь средняя

± (0,16 – 0,20) Связь плохая ± (0,61 - 0,80) Связь высокая

± (0,21 – 0,30) Связь слабая ± (0,81 – 0,90) Связь очень высокая

± (0,31 – 0,40) Связь умеренная ± (0,90 – 1,00) Связь полная

Вывод.В соответствии с таблицей значений величин коэффициента корреляции делаем вывод о том, что между временем, затраченным учеником на подготовку к тестированию, и результатом выполнения теста существует плохая по силе отрицательная корреляция.

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 2097; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!

i	Интервал, x_i<x<x_i+1	Частота попадания в интервал, n_i
1	12 – 18	3
2	18 – 24	2
3	24 – 30	6
4	30 – 36	5
5	36 – 42	8
6	42 – 48	6
7	48 - 54	5

N ученика	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	50	60	50	95	30	45	50	80	90	35
Y	20	14	13	18	20	15	11	14	15	18

i	x_i	y_i	x_i – x_в	(x_i - x_в)²	y_i – y_в	(y_i - y_в)²	(x_i - x_в)(y_i - y_в)
1	50	20	-8,5	72,25	4,2	17,64	-35,7
2	60	14	1,5	2,25	-1,8	3,24	-2,7
3	50	13	-8,5	72,25	-2,8	7,84	23,8
4	95	18	36,5	1332,25	2,2	4,84	80,3
5	30	20	-28,5	812,25	4,2	17,64	-119,7
6	45	15	-13,5	182,25	-0,8	0,64	10,8
7	50	11	-8,5	72,25	-4,8	23,04	40,8
8	80	14	21,5	462,25	-1,8	3,24	-38,7
9	90	15	31,5	992,25	-0,8	0,64	-25,2
10	35	18	-23,5	552,25	2,2	4,84	-51,7
∑	585	158	-	4552,50	-	83,60	-118,0

Значение коэффициента r_xy	Ключ к определению силы связи по значениям коэффициента корреляции r_xy	Значение коэффициента r_xy	Ключ к определению силы связи по значениям коэффициента корреляции r_xy
± (0 - 0,15)	Связь отсутствует	± (0,41 – 0,50)	Связь средняя
± (0,16 – 0,20)	Связь плохая	± (0,61 - 0,80)	Связь высокая
± (0,21 – 0,30)	Связь слабая	± (0,81 – 0,90)	Связь очень высокая
± (0,31 – 0,40)	Связь умеренная	± (0,90 – 1,00)	Связь полная