Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса. Примеры.
Теорема Рисса.
Всякий линейный непрерывный функционал в гильбертовом пространстве имеет вид , где - некоторый элемент из , однозначно определяемый функционалом . При этом .
Теорема Рисса означает, что сопряженное пространство изоморфно самому (т.е. можно установить взаимнооднозначное соответствие).
7.2. Общий вид линейного функционала в и ( ).
№ 1 , изоморфно
, где
или .
№ 2. , изоморфно пространству всех ограниченных последовательностей с нормой
, где
.
№ 3 - пространство стремящихся к нулю последовательностей с нормой
изоморфно пространству
,
№ 4 , изоморфно
, где
.
№ 5. изоморфно пространству - ограниченных на функций, т. е. Функций, существенные максимумы которых конечны (почти всюду огранич. функций)
; где - почти всюду на ограниченная функция и .
Заметим, что при и т.е. и - самосопряженные пространства, т.е. гильбертовы.
Определение линейного оператора. Примеры.
1.1. Определение линейного оператора.
Def оператор , определенный на пространстве и принимающий значения в пространстве , называется линейным, если этот оператор
1) аддитивен, т.е. .
2) Однороден, т.е. , .
В дальнейшем будем писать также
1.2. Определение непрерывного оператора
Def Оператор называется непрерывным в точке , если при (здесь ) или, что равносильно: если .
Def Если оператор непрерывен в каждой точке , то говорят, что непрерывен на .
|
|
Теорема. Если линейный оператор , действующий из банахова пространства непрерывен в какой-либо одной точке банахова пространства , то он равномерно непрерывен на всем .
1.3. Примеры линейных операторов
№ 1. Пусть , где - линейное нормированное пространство.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором.
№ 2. Пусть , где непрерывная фиксированная функция, такой оператор называется оператором умножения на функцию , линейность оператора очевидна.
№ 3. Пусть - оператор дифференцирования , где -пространство непрерывно дифференцируемых функций на с нормой .
№ 4. Общий вид линейного оператора, переводящего конечномерное пространство в конечномерное. Пусть , тогда , такой что . Ясно, что оператор определяется матрицей коэффициентов
Определение нормы оператора.
Def Пусть - линейный ограниченный оператор. Наименьшая из постоянных , удовлетворяющих условию при всех называется нормой оператора и обозначается .
Равносильные определения .
Понятие обратного оператора.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, линейных интегральных уравнений, а также некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными сводится к вопросу о существовании и единственности решения линейных операторных уравнений вида .
|
|
Пусть задан линейный оператор , причем, его область определения , а область значений .
Обратное отображение, обозначаемое , называется обратным оператором.
Предположим, что оператор отображает на взаимно однозначно. В этом случае существует обратный оператор отображающий взаимно однозначно на . В этом случае оператор также является линейным оператором.
Def Множество тех , для которых , называется ядром линейного оператора и обозначается .
Теорема. Линейный оператор переводит в взаимно однозначно когда .
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 555; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!