Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z₀ | < R,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности,
- окружность

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где
r - радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r= 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Особые точки аналитической функции. Классификация.

Определение 1. Пусть функция f не регулярна в точке a∈C¯, но регулярна в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда точку a называют изолированной особой точкой функции f.

Определение 2. Изолированная точкаa∈C¯ функции f : Boρ(a)→C называется

1)устранимой особой точкой, если существует конечный предел limz→af(z)∈C;

2)полюсом, если существует limz→af(z)=∞;

3)существенно особой точкой, если не существует конечного или бесконечного предела limz→af(z).

Вычеты. Теорема Коши.

Определение метрического пространства, примеры.

Def: Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства)  элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной неотрицательной действительной функции  и определенной для любых  и  из  и подчиненной трем аксиомам:

1) .

2)  (симметрия).

3)  (неравенство треугольника)

 

 

Определение банахова пространства, гильбертова пространства.

Поскольку предгильбертово пространство является линейным нормированным пространством, то в нем можно рассматривать понятие полноты по норме, определенной скалярным произведением.

Def Предгильбертово пространство, полное относительно нормы  называется гильбертовым пространством.

Теорема. Любые два сепарабельных гильбертовых.

---

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 637; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!