Действие магнитного поля на частицы и проводники с током

Постоянное магнитное поле в вакууме

Задача 1

По круговому витку радиуса r=0,1 м циркулирует ток силы I=1 А. Найдите магнитную индукцию В: а) в центре витка; б) на оси витка на расстоянии b=0,1 м от его центра. [а) 6,3 мкТл; б) 2,2 мкТл]

Указания по решению.

1)Если ток протекает по линейному проводнику формы L, то индукция магнитного поля в произвольной точке находится через криволинейный интеграл:

где радиус-вектор направлен от элемента тока в рассматриваемую точку поля.

а) Магнитная индукция элементарного поля в центре витка по закону Био-Савара-Лапласа равна

т.е. вектор перпендикулярен плоскости рисунка и численно равен

Учитывая, что все элементы тока на круговом витке одинаково расположены по отношению к центру витка, получим

б) Магнитная индукция элементарного поля на оси витка по закону Био-Савара-Лапласа равна

Отсюда ясно (по определению векторного произведения), что вектор перпендикулярен плоскости, образованной векторами и , т.е. для каждого элемента тока вдоль витка имеет свое направление. Совокупность векторов образует коническую поверхность, ось которой совпадает с осью витка (рис. 6 б)). Векторная сумма всех с учетом симметрии будет направлена по оси витка и численно равна сумме проекций отдельных на эту ось:

Учитывая, что все элементы тока на круговом витке равноценно расположены по отношению к центру витка, получим

Задача 2

Бесконечно длинный прямой проводник, по которому течет ток силой I=5 A, согнут под прямым углом (рис. 8). Найти индукцию магнитного поля на расстоянии a = 10 см от вершины угла в точках A и C, лежащих соответственно на биссектрисе прямого угла и на продолжении одной из сторон. [240 мТл; 5 мкТл]

Указания по решению.

В любой точке индукция магнитного поля может быть найдена как векторная сумма индукций полей, созданных токами, протекающими по двум частям 1 и 2провода:

Согласно условию, проводник бесконечно длинный, что позволяет не учитывать магнитное поле, создаваемое токами в подводящих проводах, идущих к источнику.

Модуль индукции магнитного поля в любой точке, создаваемого каждым из проводников, может быть найден по формуле поля прямого тока конечной длины (см. задачу 1.2 ):

В точке A, как следует из закона Био-Савара-Лапласа, векторы и направлены одинаково и перпендикулярны плоскости рисунка. Следовательно,

В точке C проводник 1поля не создает, так как для любого элемента этого проводника =0. Поэтому

Вследствие симметричного расположения точки Aотносительно частей проводника , поэтому

. (4)

Из рис. видно, что для поля проводника 1 в точке A

Тогда

(Тл).

Для точки C

, .

Тогда

(Тл).

Задача 3

В ОМП с индукцией В=0,1 Тл помещена квадратная рамка площадью S=25 см². Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол a =60⁰. Определите: 1) вращающий момент , действующий на рамку; 2) магнитный момент рамки. По рамке течет ток I=1 А. [217 мкН×м; 2,5 мА×м²]

Указания по решению. Изобразим на рисунке плоскость рамки, укажем направление тока в ней и соответственно этому направлению изобразим положительную нормаль .

Магнитный момент рамки будет направлен так же как и нормаль и равен

Вращающий момент есть вектор, направленный перпендикулярно векторам и , численно равный

Самостоятельно произведите вычисления и сравните ответ.

Задача 4

Магнитный момент кругового контура с током равен =1 А×м². Радиус контура R=10 см. Найти индукцию В в центре контура.

[ =0,2 мТл]

Указания по решению.

При решении задачи 1.5 а) было получено выражение для величины индукции магнитного поля в центре кругового витка с током:

где R – радиус витка. Умножим числитель и знаменатель дроби на площадь , ограниченную данным контуром, и воспользуемся определением магнитного момента. Получим:

Сравните последнее выражение с выражением для напряженности поля электрического диполя и проведите аналогию.

Действие магнитного поля на частицы и проводники с током

Задача 1

Задача №3.1. В ОМП (В=0,02 Тл) в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо (рис. ) длины l=3 см, по которому течет ток силы I=0,1 А. Найти результирующую силу, действующую на полукольцо. Изменится ли сила, если проводник распрямить? [38 мкН; увеличится в p/2 раз] (10, с. 242)

Указания по решению. 1) На элемент тока в магнитном поле действует сила (3.1):

направление которой определяется по правилу левой руки (рис. ). Силы Ампера, действующие на отдельные участки кольца лежат в одной плоскости (плоскости полукольца), т.е. имеют составляющие по 2-м осям х и у.

Результирующая сила, действующая на кольцо, согласно рис. стремиться растянуть его и находится как

т.е.

и .

В силу симметрии

тогда

Вычислите самостоятельно.

2) Если проводник распрямить, то становится применимой формула (3.3), тогда

т.е. сила увеличивается в раз.

Подумайте, чему будет равна сила Ампера в случае, когда полукольцо будет лежать в плоскости, параллельной силовым линиям заданного ОМП?

Задача 2

Квадратная рамка с током закреплена так, что может свободно вращаться вокруг горизонтально расположенной стороны. Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле индукции B. Угол наклона рамки к горизонту a, ее масса m, длина стороны a. Найдите ток в рамке. [ ]

Указания по решению.

Верхняя сторона рамки закреплена и относительно нее происходит вращение. На каждую из сторон рамки как на линейный проводник с током действует сила Ампера. При этом действие магнитного поля на боковые стороны рамки сводится к ее растяжению, а на нижнюю сторону действует сила, направленная вправо по рис. .

Т.к. рамка находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на нее относительно оси вращения равен нулю:

,

,

Þ

Изобразите самостоятельно на рисунке все силы, действующие со стороны магнитного поля на каждую из сторон рамки. Найдите моменты этих сил относительно закрепленной стороны рамки.

Задача 3

В ОМП перпендикулярно линиям магнитной индукции движется прямой проводник длиной l=40 см. Определите силу Лоренца, действующую на свободный электрон проводника, если возникающая на его концах разность потенциалов составляет U=10 мкВ. [4×10^-24 Н] (8, с. 161)

Указания по решению.

При движении проводника с такой же скоростью перемещаются относительно магнитного поля и свободные электроны в нем. Тогда на отдельный свободный электрон действует сила Лоренца

Под ее действием свободные электроны смещаются к одному краю проводника, создавая на его концах разность потенциалов. Смещение электронов прекращается, когда сила Лоренца уравновешивается силой кулоновского отталкивания электронов. При этом уравниваются и значения работы по перемещению электронов для указанных сил:

Þ .

Вычислите самостоятельно.

Задача 4

Внутренний диаметр дуантов циклотрона d=1 м. Индукция магнитного поля В=1,2 Тл. Ускоряющее напряжение U=100 кВ. Найти: а) максимальную энергию W, до которой могут быть ускорены в этом циклотроне протоны, и конечную скорость v, приобретаемую протонами; б) время τ, в течение которого длится процесс ускорения; в) приближенное значение пути S, проходимого протонами за это время. [а) =17 МэВ, =5,8×10⁷ м/с; б) =4,7 мкс; в) 198 м] (7, с. 154)

Указания по решению.Циклотрон – простейший резонансный ускоритель, в котором переменное ускоряющее электрическое поле 3 создается в щели 1 между двумя половинами цилиндрической коробки 2 (дуантами). Частица ускоряется каждый раз, когда она, описав под действием магнитного поля полуокружность в дуанте, входит в зазор между дуантами.

а) Радиус окружности, описываемой протонами в циклотроне ограничена его внутренними размерами:

Из таблицы 1 берем выражение для радиуса окружности в случае ^ :

причем , С учетом размеров циклотрона получаем

Þ .

Тогда

б) Период не зависит от величины скорости. Поэтому полное время процесса ускорения равно N полупериодам вращения, где N – число актов ускорения частицы в промежутке между дуантами.

По закону сохранения энергии

приращение кинетической энергии за один акт ускорения. Тогда

а искомое время

в) Ясно, что приближенное значение пути S, проходимого протонами за это время, складывается из длин полуокружностей различного радиуса, описываемых протонами в двух дуантах циклотрона.

Самостоятельно завершите решение задачи и сравните ответ

Задача 5

Прямой провод длиной l=20 см с током I=5 А, находящийся в ОМП с В=0,1 Тл, расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите работу сил поля, под действием которых проводник переместился на а=2 см. [2 мДж]

Указания по решению.

Решим задачу двумя способами.

Способ 1. В магнитном поле на проводник с током действует сила Ампера. Если проводник перемещается, то она совершает работу:

, где .

По условию задачи проводник переместился под действием сил поля, следовательно, вектор перемещения сонаправлен с вектором действовавшей силы. Учитывая перпендикулярность проводника линиям индукции, получаем искомую величину: .

Способ 2. Механическая работа по перемещению проводника с током в магнитном поле согласно (4.1) равна произведению силы тока на магнитный поток через поверхность, описываемую проводником при его движении:

.

Т.к. поле однородно, то описываемая поверхность будет представлять собой прямоугольник площадью

,

тогда магнитный поток ОМП через нее будет равен

,

здесь учтено, что проводник перемещается в поле перпендикулярно силовым линиям, а следовательно нормаль к описываемой прямоугольной поверхности будет сонаправлена с линиями поля ( ).

Подставляем в выражение для работы и получаем искомое:

.

Самостоятельно сравните ответы, полученные разными способами и сделайте вывод. Произведите вычисления и сравните ответ.

МАГНИТНОе ПОЛЕ в Веществе.

Задача 1

В ОМП с индукцией помещена бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного магнетика с проницаемостью μ. Пластина расположена перпендикулярно к линиям . Определить магнитную индукцию и напряженность магнитного поля в магнетике. [ , , где - напряженность внешнего магнитного поля]

Указания по решению.

Запишем условие соленоидальности магнитного поля:

В качестве замкнутой поверхности S выберем цилиндр, образующие которого параллельны силовым линиям поля (рис. ). Тогда интеграл можно представить в виде суммы 3-х интегралов (по боковой поверхноти и по каждому из оснований):

Отсюда ясно, что магнитная индукция поля в магнетике равна магнитной индукции внешнего поля:

Напряженность магнитного поля в магнетике найдем через ее связь с магнитной индукцией:

отсюда

Задача 2

В тонком тороидальном соленоиде с радиусом средней линии R и числом витков N сделан тонкий воздушный зазор толщиной d<<R. Магнитная проницаемость сердечника равна μ. Найдите напряженность и индукцию магнитного поля в сердечнике и зазоре, если по обмотке протекает ток I.

Указания по решению.

В этой задаче мы имеем дело с неоднородной средой «сердечник-зазор», поэтому вместо теоремы о циркуляции вектора необходимо применять закон полного тока:

где L – средняя линия тора, охватывающая N токов I.

Разложим записанный интеграл на сумму двух интегралов по каждой из областей (сердечник и зазор) в отдельности:

Т.к. соленоид по условию тонкий, то можно принять, что поле внутри него однородно, тогда закон полного тока запишется в виде

здесь мы учли, что выбранный контур совпадает с силовой линией, а значит в любой точке векторы напряженности поля и элемента длины сонаправлены ( ).

Для получения второго независимого равенства, рассмотрим границу раздела сред и воспольземся условием соленоидальности магнитного поля:

Запишем связь между индукцией и напряженностью поля:

или

т.к. в зазоре

Подставляем в закон полного тока:

Þ ,

Значения же магнитной индукции будут одинаковыми и в сердечнике и в зазоре:

Задача 3

Соленоид длиной l=20 см, площадью поперечного сечения S=10 см² и общим числом витков N=400 находится в диамагнитной среде. Определить силу тока I в обмотке соленоида, если его индуктивность L=1 мГн и намагниченность Р_m= 20 А/м внутри соленоида. [2,09 А]

Указания по решению.

Намагниченность вещества пропорциональна величине намагничивающего поля:

где - магнитная восприимчивость вещества, т.е. для диамагнетика .

Учитывая, что , запишем

Þ .

По закону полного тока имеем

Þ .

Отсюда сила тока с учетом выражения для напряженности будет равна

Осталось найти магнитную проницаемость вещества. Для этого воспользуемся выражением для индуктивности соленоида:

Завершите решение задачи самостоятельно и сравните ответ.

Задача 4

В ОМП вносится длинный вольфрамовый стержень (магнитная проницаемость вольфрама μ=1,017). Найдите, какая доля суммарного магнитного поля в этом стержне определяется молекулярными токами. [1,7 %]

Указания по решению.

Поле в стержне складывается из внешнего поля и поля микротоков :

Þ ,

тогда искомая доля запишется так:

Для получения доли в процентах необходимо последнее выражение еще умножить на 100%.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНая ИНДУКЦИя

Задача 1

Соленоид диаметром d=4 см, имеющий N=500 витков, помещен в магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью 1 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол a=45⁰. Определить ЭДС индукции e, возникающей в соленоиде.

Указания по решению.

Воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея:

Магнитный поток Ф, сцепленный со всеми витками соленоида равен :

Подставляем в первое равенство и учитываем, что - скорость изменения магнитной индукции, получаем:

Вычислим

4,443×10^-4(В) » 0,44(мВ).

Ответ: 0,44мВ.

Задача 2

. Железнодорожные рельсы изолированы друг от друга и от земли и соединены через милливольтметр. Каково показание прибора, если по рельсам проходит поезд со скоростью 20 м/с? Вертикальную составляющую напряженности магнитного поля Земли принять равной 40 А/м, а расстояние между рельсами 1,54 м.

Указания по решению.

Рельсы, поезд и милливольтметр вместе образуют замкнутый контур, расположенный в магнитном поле Земли. При движении поезда меняется площадь, ограниченная этим контуром. Поэтому по закону Фарадея для электромагнитной индукции в нем индуцируется ЭДС, равная:

Здесь Ф – магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную контуром, т.е.

Площадь контура выразим через длину рельс L и расстояние между ними d:

Подставляем в закон Фарадея и учитываем, что :

, для воздуха m=1.

По закону Ома для замкнутой цепи имеем:

где - сопротивление милливольтметра, R – сопротивление остальной части цепи (рельс и поезда), I – сила тока в контуре. Учитывая, что между точками подключения прибора напряжение одно и тоже, получим:

тогда

Вычислим:

=7,741×10^-4 (В) » 0,77 (мВ).

Ответ: 0,77 мВ.

Задача 3

Тонкий медный проводник массой 1 г согнут в виде квадрата и концы его замкнуты. Квадрат помещен в ОМП (В=0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определите количество электричества q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.

Указания по решению.

При вытягивании квадрата в линию меняется магнитный поток сквозь ограниченную им площадь с начальной величины

где – площадь квадрата со стороной а, до нуля. При этом по закону электромагнитной индукции в замкнутом контуре возникает ЭДС индукции, среднее значение которой равно

где - время вытягивания квадрата в линию. Получаем:

Далее по закону Ома в контуре возникнет ток, среднее значение которого равно

где R – сопротивление проводника квадрата, которое найдем, зная материал и размеры линейного проводника:

где 4а – периметр квадрата, S – площадь поперечного сечения проводника, - удельное сопротивление меди.

Наконец, исходя из определения силы тока найдем суммарный заряд, прошедший по проводнику:

Осталось связать линейные размеры квадрата и площадь поперечного сечения проводника с массой меди и ее плотностью :

Þ .

Получаем:

Вычислим

(Кл)

Ответ: 0,041 Кл.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 500; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!