Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности)
Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.
Применим эту теорему для доказательства следующей теоремы.
Теорема 2 (второй замечательный предел)
Существует предел .
Доказательство. Рассмотрим последовательность с общим членом
Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона:
.
Преобразуем по этой формуле , полагая :
.
В полученном выражении:
третье слагаемое
четвертое =
и т.д., а последнее
Получаем:
(*)
Покажем, что последовательность возрастающая, т.е. :
(**)
Так как то и т.д., поэтому каждое слагаемое (начиная с третьего) из равенства (*) меньше соответствующего слагаемого из равенства (**), кроме того, в равенстве (**) правая часть содержит на одно (положительное) слагаемое больше. Отсюда заключаем, что .
Покажем, что последовательность ограничена (сверху), т.е.
Если в равенстве (**) каждую из скобок заменить на 1 (на большее число), то получим неравенство:
Так как то
.
По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:
поэтому .
Последовательность возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует предел, этот предел называют неперовым числом и обозначают через e. Итак,
.
Так как 2 < an < 3, то 2 < an 3, т.е. 2 < e 3. Это число e иррациональное и e 2,718282.
|
|
Число e широко используется как основание для показательной функции (экспонента) и как основание для логарифмов (натуральные логарифмы).
Рассмотрим (рис. 1.13) функцию y = , которая не определена на отрезке (подумайте почему?). Ее область определения (– , –1) (0, + ).
Известно, что
и .
Нетрудно показать, что
.
Все записанные пределы объединяются одним названием второго замечательного предела.
Рассмотрим применение второго замечательногопредела для вычисления некоторых пределов.
Пример.Найти
Решение. Обозначим: 3n = m, n = . Если n , то m и мы получим:
=
Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции
Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x ® a (x® + ¥, x ® –¥, x ® x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при x ® a.
1. Если = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a(x), b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a.
2. Если = 0, то a(x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем b(x) при x ® a. Очевидно, в этом случае = ¥.
3. Если a(x) – б.м. высшего порядка, чем b(x), и = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N), то a(x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с b(x) при x ® a.
4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то a(x), b(x) называют несравнимыми б.м. при x ® a.
|
|
5. Если = 1, то a(x), b(x) называются эквивалентнымиб.м. при x ® a, что обозначается так: a(x) ~ b(x) при x ® a.
Пример 1. a(x) = (1 – x)3, b (x) = 1 – x3.
Очевидно, что при x ® 1 функции a(x), b(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1:
=
Вывод: a(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с b(x) при x ® 1.
Нетрудно убедиться, что = (убедитесь!), откуда следует, что a(x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с b(x) при x ® 1.
Пример 2. Функции a1(x) = 4x, a2 (x) = x2, a3(x) = sinx, a4(x) = tgx являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их:
= 0, , = 1, = ¥.
Отсюда заключаем, что a2(x) = x2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с a1(x) и a3(x) (при x ® 0), a1(x) и a3(x) – б.м. одного порядка, a3(x) и a4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x ® 0.
Теорема 1. Пусть a(x) ~ a1(x), b(x) ~ b1(x) при x ® a. Если существует , то существует и , и = .
Доказательство. = 1, = 1,
= = .
Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.
Пример 3. Найти .
В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x ® 0, поэтому
= = .
Теорема 2. Бесконечно малые функции a(x) и b(x) эквивалентны (при x ® a) тогда и только тогда, когда a(x) – b(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) и b(x) (при x ® a).
Доказательство
|
|
Пусть a(x) ~ b(x) при x ® a. Тогда = = 0, т.е. разность a(x) – b(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) при при x ® a (аналогично с b(x)).
Пусть a(x) – b(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) и b(x), покажем, что a(x) ~ b(x) при x ® a:
= = + = 1,
т.е. a(x) ~ b(x) при x ® a.
Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство. Пусть a(x) – б.м. низшего порядка по сравнению с b(x) и g(x) при x ® a, т.е. = 0 и = 0.
Покажем, что a(x) ~ (a(x) + b(x) + g(x)) при x ® a:
= + + = 1 + 0 + 0 = 1.
Доказанные теоремы применяются для нахождения пределов.
Пример 4. Найти .
По теореме 3 при x ® 0: 4x + 2x3 ~ 4x , sin2x + 3tg5x + x3 ~ 3tg5x, тогда
= = = .
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 512; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!