Свойства функции и плотности распределения вероятности
1) .
2) .
3) 0.
4) .
5) , , где и – функции распределения вероятности случайных величин и .
6) В любой точке непрерывности функции , .
7) .
8) .
9) .
10) , ,
где и – плотности распределения случайных величин и .
Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что называют функцию ,
Аналогично определяют ,
Равенство называют теоремой умножения плотностей вероятности.
Случайные величины и называются независимыми, если для любых чисел , случайные события и независимы (см. стр.12).
Случайные величины независимы, если выполняется любое из условий:
.
или .
Для двумерных случайных величин вводят понятия начальных и центральных моментов, из которых наиболее часто используются математические ожидания , и дисперсии , составляющих, а также условные математические ожидания и корреляционный момент.
Условным математическим ожиданием для дискретного случайного вектора называется сумма:
Для двумерных непрерывных случайных величин условным математическим ожиданием называется интеграл:
Величина называется корреляционным моментом (ковариацией) двух случайных величин и .
Если – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения , то
,
где .
Для дискретного случайного вектора
|
|
.
Величина называется коэффициентом корреляции случайных величин и .
Если , то случайные величины и называются некоррелированными.
Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции
1) .
2) Если и независимы, то . Обратное неверно: из некоррелируемости случайных величин не следует их независимость.
3) Если , то
4) .
5) .
6) .
7) .
Свойства математического ожидания и дисперсии
1) , где – постоянная.
2) .
3) .
4) .
Если , то .
Случайная величина называется неотрицательной , если она принимает только неотрицательные значения.
5) Если , то .
6) , где – постоянная.
7) .
8) .
Если , то .
9) . – постоянная.
10) .
11) .
Двумерная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения
.
Здесь , , , ,
– коэффициент корреляции случайных величин и . Для нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелируемости эквивалентны.
Двумерная случайная величина распределена равномерно в области , если ее плотность распределения
Здесь – площадь области .
Пример 1.Дискретная двумерная случайная величина распределена по закону, приведенному в таблице
|
|
–1 | 0 | 2 | |
–1 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
Определить:
1) Законы распределения составляющих и , , ;
2) условный закон распределения случайной величины при условии, что ;
3) ;
4) коэффициент корреляции .
Решение.1) Случайная величина может принимать два значения и .
Событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение , представляет собой сумму трех несовместных событий: , , . По теореме сложения вероятностей вероятность события, состоящего в том, случайная величина примет значение , будет равна сумме вероятностей этих событий. Практически для нахождения достаточно просуммировать вероятности первой строки двумерного закона распределения.
Аналогично находятся вероятности и других значений случайных величин и .
Законы распределения составляющих будут иметь вид
–1 | 1 | |
0,6 | 0,4 |
–1 | 0 | 2 | |
0,3 | 0,2 | 0,5 |
,
,
,
.
2) Условный закон распределения случайной величины при условии, что – это перечень возможных значений случайной величины и условных вероятностей , которые вычисляются по формуле ,
|
|
,
.
Условный закон распределения случайной величины при условии, что будет иметь вид
–1 | 1 | |
Сравнивая закон распределения случайной величины и условный закон распределения случайной величины , видим, что закон распределения случайной величины зависит от того, какое значение принимает случайная величина . Следовательно, – зависимые случайные величины.
3) Условное математическое ожидание дискретной случайной величины равно .
Для решаемой задачи .
4) Коэффициент корреляции .
Корреляционный момент для дискретной двумерной случайной величины равен .
Для решаемой задачи
.
Вычислим коэффициент корреляции
.
Пример 2.Пусть задан треугольник АВС с вершинами А(0,0), В(1,0), С(0,1). Обозначим область, ограниченную треугольником АВС через D. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области , то есть
Найти постоянную , одномерные плотности , случайных величин и , коэффициент корреляции , условную плотность и условное математическое ожидание .
Рис. 3
Решение.1) Постоянную найдем из условия нормировки
, ,
где – площадь треугольника . Значит
|
|
2) Уравнение прямой ВС имеет вид . Тогда область можно аналитически задать следующим образом:
или .
3)
.
.
.
.
4) .
.
5)
.
Пример 3.Пара случайных величин и имеет совместное нормальное распределение с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей :
.
Известно, что . Найти .
Решение.Совместная нормальность пары случайных величин и обеспечивает нормальность каждой из них и любой их линейной комбинации, в частности величина нормальна с параметрами
, .
Подставляя в последнее соотношение элементы ковариационной матрицы
, , ,
получим
.
По условию , откуда, используя нормальность , получаем
.
Здесь функция распределения вероятности случайной величины , .
Искомые дисперсии равны, соответственно,
, .
Пример 4.Случайный вектор имеет вектор математических ожиданий и корреляционную матрицу .
, .
Вычислить вектор математических ожиданий случайного вектора и корреляционную матрицу вектора .
Решение. .
.
. .
.
=
.
Ответ: , .
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 170; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!