Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
Пусть (Ω, S, Р) – вероятностное пространство. Случайной величиной ξ будем называть функцию, действующую из пространства элементарных событий Ω в R1, то есть ξ: Ω→R1, удовлетворяющую следующему условию:
Для любых чисел , случайное событие
Так как вероятность Р определена на σ – алгебре S, то это требование означает, что для случайной величины всегда можно подсчитать вероятность ее попадания в любой интервал.
Функцией распределениявероятности случайной величины называется функция , .
Отметим, что знание функции распределения случайной величины достаточно для того, чтобы найти вероятности любых событий: , , .
Различают два основных типа случайных величин: дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. В приложениях встречаются случайные величины смешанного типа.
Случайные величины, принимающие дискретное множество значений, называются дискретнымислучайными величинами. Непрерывной называется случайная величина , функцию распределения которой , можно представить в виде
.
Функция называется плотностью распределения вероятностей случайной величины .
Свойства функции распределения вероятности случайной величины
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция; , , , .
Для дискретных случайных величин функция распределения кусочно-постоянная, непрерывная слева, имеет разрывы 1 рода в точках , и величина скачка равна . Здесь все возможные значения, которые может принимать дискретная случайная величина,
|
|
Достаточно часто для дискретных случайных величин используют удобный описательный термин закон распределения. Это перечень возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблицей (рядом распределения), графически (многоугольник распределения), аналитически.
Свойства плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины
1) .
2) .
3) в любой точке непрерывности .
4) .
Замечание.Для функции распределения дискретной случайной величины справедлива формула
,
где функция Хэвисайда. Дифференцируя последнее равенство, видим, что и для дискретной случайной величины можно ввести плотность распределения вероятности по формуле
.
Для случайных величин вводят понятия начальных и центральных моментов, из которых наиболее часто используются математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием случайной величины называется число
(1)
|
|
Говорят, что математическое ожидание у случайной величины существует, если ряд (интеграл) (1) сходится абсолютно.
Дисперсией случайной величины называется число
.
Дисперсия вычисляется по формулам:
для дискретной случайной величины.
для непрерывной случайной величины, где .
Рассеивание возможных значений случайной величины от её математического ожидания часто характеризуют средним квадратическим отклонением .
Существует достаточно большое число законов распределения дискретных и непрерывных величин, которые встречаются в приложениях. Параметры этих законов являются числовыми характеристиками случайных величин или же числовые характеристики выражаются через параметры законов распределения.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 216; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!