Вероятность попадания значений нормальной СВ в интервал, симметричный относительно математического ожидания, правило трех сигм.
Вероятность того, что отклонение СВ X от её М.О. a по абсолютной величине будет меньше заданного положительного числа
, равна
Если в этом равенстве положить ,то получим
s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ,
То есть нормально распределенная СВ X отклоняется от своего М.О. a, как правило, менее чем на 3 .В этом и состоит так называемое правило 3 сигм, которым часто пользуются в математической статистике.
Функция одной случайной величины. Математическое ожидание функции одной СВ.(тетр)
Если каждому возможному значению случайной величины Хсоответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу-мента Х: Y = φ(X).
Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента.
1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Хсоот-ветствуют различные значения Y. Тогда вероятности соответствующих значений Х и Yравны.
2) Если разным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.
3) Если Х – непрерывная случайная величина, Y = φ(X), φ(x) – монотонная и дифференцируемая функция, а ψ(у) – функция, обратная к φ(х).
Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.
Пусть Y = φ(X) – функция случайного аргумента Х, и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон распределения Х.
|
|
1) Если Х – дискретная случайная величина, то
2) Если Х – непрерывная случайная величина, то M(Y) можно искать по-разному. Если известна плотность распределения g(y), то
21. Функция двух случайных аргументов. Распределение функции Z=Х+У для дискретных независимых СВ Х и У.(тетр)
Если каждой паре возможных значений случайных величии X и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y и пишут Z=φ(X,Y). Если X и Y—дискретные независимые случайные величины, то, для того чтобы найти распределение функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить каждое возможное значение X со всеми возможными значениями Y; вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей складываемых значений X и Y. Если X н Y—непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения g(z) суммы Z = X+Y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (— оо, оо) одной формулой) может быть найдена по формуле , либо по равносильной формуле
, где f1 и f2—плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z=X + Y находят по формуле
, либо по равносильной формуле
. В том случае, когда обе плотности f1(x) и f2(y) заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величины Z = X+Y целесообразно сначала найти функцию распределения G(z), а затем продифференцировать ее по z: g(z)=G’(z). Если X и Y—независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения f1(x) и f2(y), то вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения: Р [(Х, У)сD] =
. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:
|
|
X 1 3 Y 2 4 ,
Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4
Найти распределение случайной величины Z = X + K. Решение. Для того чтобы составить распределение величины Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y: Z1 = 1+2=3; z2 = 1+4 = 5; z3=3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z=3, достаточно, чтобы величина X приняла значение x1= l и величина К—значение y1=2. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы X и Y независимы, то события Х =1 и Y=2 независимы н, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z = 3) по теореме умножения раина 0,3*0,6=0,18. Аналогично найдем:
|
|
Я B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;
P(Z = 34-2 = 5) =0,7 0.6 = 0,42;
P(Z = 3-Й = 7) =0,7-0,4 = 0.28. Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z2 = 5, Z=z3 = 5 (0,12+0,42=0,54):
Z 3 5 7 ; Р 0,18 0,54 0,28 . Контроль: 0,18 + 0,54+0,28 = 1.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 863; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!