Лема про ранг матриці керовності лін. стаціон. с-ми
Якщо ранг матр. Sn: rank Sn = r≤n, то
1) rank Sr = r (1)
2)б/я стовпчик матр. Sn можна виразити ч/з r лін.незал. стовпців матр. Sr ; або як лін. комбінацію лін.незал. стовпців матр. Sr.
Дов-ня. Розгл. bj, Ab,…, An-1bj (2). Нех. серед цих векторів rj
лін.незал.векторів. Покаж., що цими век-ми є век-ри: bj, Ab,…, Ar-1bj ( (rj-перших век-рів).
Дов-ня від супрот. Нех. це не так, тобто у (2) mj век-рів: mj<rj-лін.незал., а mj+1 лін. вираж-ся ч/з mj-век-рів. І решта rj-mj знах. між mj+1 . bj, Ab,…, Amj-1bj, Amjbj, Amj+1bj,… An-1bj,
це mj лін.незал., тому => Amjbj = (3)
Серед коеф-в -є хоча б 1 відмін. від 0. Домнож. (3)*А зліва
Amj+1 bj = = = = (4)
Домнож. (4)*А (зліва), одерж.:
Amj+2 bj = …………..
An-1 bj =
.Вказані рівності показ., що кожен век-р почин-чи з n+1 є лін. комбін-ю mj перших векторів => mj=rj.
Далі міркуємо так: беремо з сукупності Sn = (B, AB,…An-1B) (n*m-стовпців) почерзі вектори: b1, Ab1,…, An-1b1, де шукаємо ранг, як макс-ну кіль-ть лін.незал. век-рів r1<r;
Далі b2, Ab2,…, An-1b2,, де r1+r2=r , r2<r. І так далі, поки rn=r .
Щоб довести 2) ми зробимо так:
Якщо вектор належ. сукуп-ті лінійнонезал-х векторів, то він вираж-ся сам ч/з себе. Б/я інший вектор належ-ть одній із груп типу (2). Тоді цей вектор можна подати як ліню комб-ю лін.незал. век-рів викор-чи попер. міркування, а це означ. правильність твердження.
13. Критерій керованості лін. стац. системи.
(1) Sn=(B,AB,A2B,..,An-1B) (2)
Теорема(про необх. і дост. умови цілком керованості лінійної стаціонарної системи ):
Для того, щоб система (1) була цілком керованою, н. і д., щоб .
|
|
Доведення. Достатність. Нехай (3) виконується. Покажемо, що вектор-рядки матриці імпульсної перехідної функції є лінійно незалежними .. Доведення проведемо від супротивного. Нехай вектор-рядки матриці (4) будуть лінійно залежними, тобто існує n-вимірнійсталий вектор l.
, (5)
Останню нерівність продиференціюємо по n-1 раз і розглянемо наступні співвідношення ,
.(6)
X(t, ) = Ф(t1)Ф-1( ), , де Ф- фундаментальна матриця розв’язків системи.
(7)
lTX(t, )B = 0
З (10) вектор-рядки матриці (2) – лінійно-залежні , а це суперечить умові (3). Необхідність: Нехай вектор-рядки матриці (4), лінійно незалежні, тобто система цілком керована. Покажемо, що справджується умова (3). Нехай це не так, тобто
rankSn<n => на основі Леми1. , , Отже ми одержимо, що система не цілком керована, а це суперечить умові теореми.
Лема про інваріантний підпростір лінійної стаціонарної системи .
Розглянемо стаціонарну систему
(6.1)
і припустимо, що для неї не викон.умова цілком керованості і rankSn= r<n (6.2) K1, K2 ,...,Kr – лін.незал. стовпчики матр. Sn, тоді виконується лема :
Лема:Якщо для сист. (6.1) викон. умова (6.2) то підпростір Kr= {k1,…,kr} (6.3) є інваріантним підпростором для сист. (6.1). Тобто це означає, що якщо x0є Kr, то р – ок (6.1) який задов. початк. ум. X(t0) = x0 (6.4) також належить x(t)Kr t, t ≥ t0
|
|
Дов-ня:
Запишемо р-ок (6.1), який задов. умову (6.4). Цей р-ок має вигляд: x(t) = eA(t-t0)x0 +
Використаємо подання eAt як:
(6.5)
Врахуємо, щоx0 = (6.6)
. На основі леми про ранг керованості матриці ми можемо стверджувати, що цей вектор можна подати, як Kr {k1…kr}.
= (6.7)
Розглянемо = (6.8)
За лемою (1) кожний стовпчик
ми можемо подати, як мін. комб. вектора (k1, k2, …, kr)
kp (6.9)
x(t) = = =
=
Якщо позначити [] через λР(t), то: x(t) = (6.10)
(7.1)
Sn = (B, AB,…An-1B)rank Sn = r < n (7.2)
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 227; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!