Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.
Предмет теории вероятностей. Испытание. Классификация событий.
Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, имеющие место в массовых однородных испытаниях (МОИ).
Испытание – это комплекс каких-либо условий, действий.
МОИ – это такие испытания, которые теоретически могут быть продолжены до бесконечности (учёба, соц.опросы, подбрасывание монеты).
Исход испытания – возможный результат испытания.
Событие – это абстракция исхода испытания (произошло явление в МОИ или нет).
НАПР., подбрасывание монеты – испытание, а появление «орла» - событие.
Событие принято обозначать большими лат. буквами A, B, C.
ВИДЫ СОБЫТИЙ:
1. Достоверным называется событие, которое произойдёт при любом исходе испытания.
2. Невозможное – не произойдет ни при каком исходе испытания.
3. Случайное – может произойти в результате испытания или нет.
НАПР., Подбрасывается игральный кубик.
Событие А – число очков не > 6: достоверное.
Событие В – число очков > 6: невозможное.
Событие С – от 1 до 6: случайное.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1. Равновозможные – такие, для которых сущ-вуют равноправие отдельных исходов испытания.
НАПР., извлечение короля, туза, дамы, валета из колоды карт.
2. Единственновозможные - такие, если в испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.
НАПР., В семье 2 детей: А – 2 мальчика, В – 2 девочки, С – 1 м. и 1 д.
Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики.
|
|
|
Комбинаторика – наука о соединениях. Под соединением понимают любую совокупность элементов некоторого множ-ва.
НАПР., множ-во студентов, сидящих в аудитории.
Все соединения делятся на 3 группы:
1)Размещения. Р-ми из n эл-тов по m ( 
) называются такие соед-я, которые отличаются друг от друга либо составом эл-тов, либо порядком соединения эл-тов, либо тем и другим вместе.
Аnm = n!/(n-m)!
Задача. Сколько различных 2значных чисел можно составить из множ-ва цифр {1;2;3;4}, причем так, чтобы цифры числа были различными.
n=4, m=2
А из 4 по 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12
2) Сочетания. Сочетаниями из n эл-тов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только составом эл-тов (порядок следования не важен)
С из n по m = n!/m!*(n-m)!
Задача. Скольким числом способов можно в группе из 30 человек распределить путевки в санаторий Уссури.
n=30, m=3/
C из 30 по 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.
3) Перестановки (Pn). Перестановками из n эл-тов называются такие соединения, которые включают в себя все n эл-тов и отличаются друг от друга только порядком их соединения.
Pn=n!
Задача. Скольким числом способов можно расставить в шеренгу 6 курсантов на плацу.
P6 = 6! = 720
ПРАВИЛО СУММЫ – если объект а может быть выбран из множ-ва различными s способами, а объект b – различными r способами, тогда выбор одного из эл-тов a или bar может быть осуществлен различными r+s способами.
|
|
|
ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ – если объект а может быть выбран различными s способами и после каждого такого выбора объект b может быть выбран различными r способами, тогда выбор пары эл-тов может быть осуществлен различными r*s способами (а и b = r*s).
Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу (P(A)=m/n).
СВОЙСТВА В-ТИ:
1) В-ть достоверного события = 1.
Т.к. D – достоверное событие, то каждый возможный исход испытания благоприятствует событию, т.е. m=n.
P(D) = m/n = n/n = 1/
2) В-ть невозможного события равна нулю. Т.к. событие N невозможно, то ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, т.е. m=0.
P(D) = m/n = 0/n = 0/
3) В-ть случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайному событию S благоприятствует лишь из общего числа элемент. исходов испытания, т.е. 0<m<n. Значит 0<P(S)<1.
|
|
|
0<m/n<n / n
0<m/n<1.
Таким образом, в-ть любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0<=P(A)<=1.
Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности.
Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний.
W(A)=m/n, где m – число появления события, n – общее число испытаний.
В-ть предполагает, а относительная частота – фиксирует. В-ть не требует, чтобы события проводились, а относительная частота – требует. Другими словами, в-ть события вычисляют до проведения опытов, а отн. частоту – после.
УСТОЙЧИВОСТЬ относительной частоты.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.
Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа.
Оказалось, что это постоянное число есть в-ть появления события W(A) = P(A).
СТАТИСТИЧЕСКОЙ в-тью события называется число, вокруг которого группируются относительные частоты этого события, причем при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа испытаний относительная частота незначительно отличается от этого числа.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 702; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!