Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
Найдем ф-ию распределения нормально распределенной СВ.
F(x)=ИНТЕГРАЛ(-беск до x)f(x)dx= ИНТЕГРАЛ(-беск до x)(1/СКО*SQR 2Пи)*e^-[(x-a)^2/2СКО^2].
Вводим замену (x-a)/СКО=u => x=a+СКО*u. dx=(a+СКО*u)^2du=СКОdu.
F(x)=ИНТЕГРАЛ(-беск до ((x-a)/СКО) ) (1/СКО*SQR 2Пи)*e^-((u^2)/2)*СКОdu=
(1/SQR 2Пи)*ИНТЕГРАЛ(-беск до 0) e^-((u^2)/2)du+(1/SQR 2Пи)*ИНТЕГРАЛ(0 до ((x-a)/СКО) ) e^-((u^2)/2)du=1/2+Ф((x-a)/СКО)
Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда
P(альфа<Х<бета)=Ф((бета-а)/СКО)- Ф((альфа-а)/СКО).
ДОК-ВО. P(альфа<Х<бета)=F(бета)-F(альфа)=[1/2+Ф((бета-a)/СКО)]-[1/2+Ф((альфа-a)/СКО)]= Ф((бета-а)/СКО)- Ф((альфа-а)/СКО).
Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм.
Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда
P(|x-M(X)|<E)=2Ф(Е/СКО).
ДОК-ВО. |x-M(X)|<E <=> |x-a|<E <=> -E<x-a<E <=> a-E<x<a+E.
P(|x-M(X)|<E)=P(a-E<x<a+E)=Ф((а+Е-а)/СКО)- Ф((а-Е-а)/СКО)=Ф(Е/СКО)- Ф(-Е/СКО)=2Ф(Е/СКО).
ПРАВИЛО трех сигм.
Пусть СВ Х принадлежит N(a; СКО^2), тогда
P(|x-M(X)|<3сигма)=2Ф(3)примерно=1
1-Ф(3)=0 (0,003). Если СВ распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от мат ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
На практике правило 3х сигм применяют так: если распред-е изучаемой СВ неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основания предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распред-на нормально.
Неравенство Маркова.
|
|
|
Если СВ принимает только неотрицательные значения и имеет М(Х), то для любого + числа А верно нер-во: P(x>A)<= M(X)/A.
ДОК-ВО. Расположим знач-я ДСВ в порядке возрастания. Часть значений (x1;xk) будет не более числа А, а другая часть значений от х(k+1) до xn будет больше А.
M(X)=x1p1+…+xk*pk+…+x(k+1)*p(k+1)+…+xn*pn.
Отбросим первые k слагаемых, получим нер-во: x(k+1)*p(k+1)+…+xn*pn<=M(X)
Заменим знач-я СВ на А: А*p(k+1)+…+А*pn<=M(X)
p(k+1)+…+*pn<=M(X)/A
P(x>A)<= M(X)/A
P(x<=A)>=1 - M(X)/A
Неравенство Чебышева.
Для любой СВ, имеющей M(X) и D(X), справедливо нер-во Чебышева:
P(|x-a|>E)<=D(X)/E^2, где a=M(X), E>0.
ДОК-ВО. Применим нер-во Маркова и СВ Х’=(x-a)^2
P((x-a)^2>A)<= M((x-a)^2)/A.
Заменим нер-во (x-a)^2>A равносильным ему нер-вом |x-a|>E, где Е^2=A.
M((x-a)^2)=D(X) с мат ожиданием = а
P(|x-a|>E)<=D(X)/E^2.
P(|x-a|<=E)>=1-D(X)/E^2
ЗАМЕЧАНИЕ. Для СВ Х, имеющей биномиальный з-н рапред-я с М(Х)=n*p и D(X)=npq, нер-во принимает вид P(|x<np|>E) <=npq/E^2
(|x1-np|) = |x2-np| = Е
np=M(X)
Закон больших чисел в форме Чебышева.
Если D(X) n независимых СВ ограничены одной и той же пост величиной, то при неограниченном увеличении числа n, сред арифметическая СВ сходится по в-ти к сред ариф их M(X) a1, a2, an
lim(n->беск)P( |(x1+x2+…+xn)/n-(a1+a2+…+an)/n| < E)=1.
или СУММАxi(i=1 n)/n p/n->беск СУММАai(i=1;n)/n
Замечание: стремление сред арифметического СВ к сред ариф-му их М(Х) следует понимать не как категор утвержд., а как утвержд., в-ть которого гарантир-ся с в-тью сколь угодно близкой к 1 при n -> беск.
|
|
|
P( |xср-M(xср)|>E)<=C/n*E^2
D(X)<=C, D(X^2)<=C,…, D(xn)<=C
Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборки. Способы отбора.
Выборочной совокупностью или просто выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральная совокупность – совокупность объектов, из которых производится выборка.
Объем совокупности (выборочной или генеральной) – число объектов этой совокупности.
Замечание: часто ген совокуп-ть содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводов, допускают, что ген совокуп-ть состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема ген совокуп-ти (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.
ВИДЫ ВЫБОРКИ
Повторная – выборка, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в ген совокуп-ть.
Бесповторная – выборка, при которой отобранный объект не возвращается в ген совокуп-ть.
|
|
|
На практике обычно пользуются безповт случайным отбором.
Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке ген совокуп-ти, выборка должна правильно представлять пропорции ген совокуп-ти. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если её осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из ген совокуп-ти, если все объекты имеют одинаковую в-ть попадания в выборку.
Если объем ген совокуп-ти достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокуп-ти, то различие м/д повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная ген совокуп-ть, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.
СПОСОБЫ ОТБОРА
1. Отбор, не требующий расчленения ген совокуп-ти на части: простой случайный бесповторный и повторный отборы.
ПРОСТОЙ случайный – это отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей ген совокуп-ти. (пользуются выбором наугад и таблицами «случайных чисел»)
|
|
|
2. Отбор, при котором ген совокуп-ть разбивается на части.
а) Типический – отбор, при котором объекты отбираются не из всей ген совокуп-ти, а из каждой её «типической» части (детали на станках, продукция каждого станка в отдельности). Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях ген совокуп-ти.
б) Механический – отбор, при котором ген совокуп-ть механически делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы выбирают один объект (если 20% - каждая 5ая деталь, 5% - каждая 25ая).
в) Серийный – отбор, при котором объекты выбирают из ген совокуп-ти не по одному, а сериями, которые подвергаются сплошному исследованию. Пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.
На практике часто применяется комбинированный метод.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 500; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!