Визначення середньої чисельності станів системи

Міністерство транспорту та зв’язку України

Українська державна академія залізничного транспорту

Факультет “Управління процесами перевезень”

Кафедра “Управління експлуатаційною роботою”

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ

Методичні вказівки

До контрольної роботи для студентів заочної форми навчання та для проведення лабораторних занять для студентів денної форми навчання з дисципліни

“Основи теорій систем і управління”

Харків 2008

Методичні вказівки розглянуто і рекомендовано до друку на засіданні кафедри „Управління експлуатаційною роботою” «17» березня 2008 р., протокол №12.

Рекомендовано для студентів спеціальності 100403 ОПУТ (залізничний транспорт) заочної форми навчання та слухачів ІППК.

Укладачі:

проф. Т.В. Бутько,

ст. викл. О.М. Ходаківський,

асистенти В.М. Прохоров,

В.В. Петрушов,

Т.В. Головко

Рецензент

доц. Д.В. Ломотько

Зміст

Вступ ……………………………………………………………………...4

1 Визначення середньої чисельності станів системи………………......5

1.1 Модель оцінення середньої чисельності станів системи……….....5

1.2 Вибір вихідних даних для визначення середньої
чисельності станів системи……………………………………………...9

1.3 Приклад визначення середньої чисельності станів системи…......10

1.4 Домашнє завдання....................................................................…......13

2 Дослідження структури динамічної системи та її оптимізація….…14

2.1 Технологія дослідження структури та визначення параметрів транспортних потоків. Перевірка гіпотези щодо структури транспортних потоків.........................................................................…..15

2.2 Вибір вихідних даних для визначення структури вхідних поїздопотоків……………………………………………………………17

2.3 Програма та методика виконання роботи........................................18

2.4 Визначення показників ефективності функціонування залізничної станції як підсистеми транспортної системи.........................................19

2.5 Вибір вихідних даних для розрахунку показників ефективності залізничної станції....................................................................................22

2.6 Програма та методика виконання роботи........................................22

2.7 Домашнє завдання....................................................................…......23

Список літератури………………………………………………………24

Додаток А. Варіанти індивідуальних завдань студентів……………..26

Додаток Б. Вимоги до оформлення роботи…………………………..37

Вступ

Ці методичні вказівки містять методи дослідження поведінки складних систем на основі математичного моделювання. Під математичною моделлю розуміється формалізоване представлення системи за допомогою математичних символів або алгоритмів. Процес моделювання спирається на строгу теоретичну базу, що включає теорію аналогії і подібності. Формування математичної моделі передбачає встановлення зв’язку між вектором входів, вектором стану системи і вектором виходу.

Задачею математичного дослідження є прогноз функціонування чи розвитку досліджуваної системи. Для її вирішення треба задати зовнішні впливи на об’єкт протягом розглянутого часу і за допомогою побудованої математичної моделі визначити динаміку змінних чи розподіл імовірнісних значень параметрів, що характеризують функціонування системи.

Математичне дослідження передбачає: виявлення причинно-наслідкових відношень у досліджуваній системі, ідентифікацію параметрів математичної моделі, визначення особливостей поведінки систем, знаходження точок екстремуму, встановлення керованих параметрів, які управляють оптимізацією рішень за заданими критеріями.

У цих методичних вказівках, згідно з програмою дисципліни, на прикладі дослідження функціонування транспортних систем студентам пропонується виконати дослідження складних систем, використовуючи такі методи: метод динаміки середніх для встановлення середніх чисельностей станів однорідної системи, апарат теорії масового обслуговування, виконати дослідження параметрів і структури транспортних потоків та визначити характеристики ефективності функціонування об’єкту.

Для студентів денної форми навчання пропонується виконати лабораторні роботи відповідно до навчального плану дисципліни за темою: «Дослідження складних систем» згідно з переліком: «Визначення середньої чисельності станів системи», «Дослідження структури та параметрів транспортних потоків», «Визначення показників ефективності функціонування залізничної станції як підсистеми транспортної системи»

Зміст робіт та вимоги до їх виконання наведені у додатку Б.

Визначення середньої чисельності станів системи

1.1 Модель оцінення середньої чисельності станів системи

У цій задачі студенту необхідно дослідити залізничний об‘єкт відповідно до свого завдання, визначити, у яких станах він може знаходитись, розрахувати середню чисельність станів та побудувати графік, що відображає процес переходу між станами в залежності від часу. Для дослідження характеристик випадкових процесів у складних системах з великою кількістю станів пропонується використовувати метод динаміки середніх.

Для вирішення поставленої задачі уявімо залізничний об’єкт як складну систему S. Нехай складна система S складається з N однотипних елементів, кожен з яких може випадковим чином переходити із одного стану в інший. Припустімо, що потоки подій, які переводять систему з стану в стан, є пуасонівськими з інтенсивностями λ в загальному випадку, що залежать від часу t (тобто λ = λ(t)). Тоді процес в системі буде марковським. Кожен елемент системи може знаходитися в n можливих станах: Е₁, Е₂...Е_n, а стан системи S у момент t характеризується числом елементів, що знаходяться в кожному стані. Позначимо через Х_К(t) – число елементів, що знаходяться в момент часу t в стані Е_К. Величина Х_К(t) називається середньою чисельністю стану Е_К. Вочевидь, що

M1(t)+M2(t)+…+X_n(t) = = N. (1.1)

Х_К(t) є випадковою величиною, для якої треба знайти математичне очікування М_К(t)=M[X_K(t)] та дисперсію D_K(t) = =D[X_K(t)].

Для кожного і-го елемента введемо величину

і [1;N].

Тоді для моменту t

Х_К(t)=M1_К(t)+Х²_К(t)+…+Х^N_К(t) = Xⁱ_K(t). (1.2)

Враховуючи, що величини Х^і_К(t) є незалежними між собою, використовуємо теорему складання математичних очікувань і дисперсій

М_К(t) = M[Xⁱ_K(t)];

D_K(t) = D[Xⁱ_K(t)]. (1.3)

Запишемо розподіл величини

	0	1

У верхньому рядку розподілу наведено можливі значення величини Х^і_К(t), а в нижньому - їх імовірності.

Тоді

M[Xⁱ_K(t)] = 0*(1-Р_К(t))+1*Р_К(t)=Р_К(t), (1.4)

де Р_К(t) - імовірність того, що окремий елемент у момент t буде знаходитись в стані Е_К.

Дисперсія величини Х^і_К(t) буде дорівнювати

D[Xⁱ_K(t)] = (0-P_K(t))² * (1-P_K(t)) + (1-P_K(t))² * P_K(t) =

=P_K(t) * (1-P_K(t)). (1.5)

Підставивши вирази (1.4) і (1.5) у (1.3), знайдемо математичне очікування і дисперсію чисельності стану Е_К:

М_К(t) = N*P_K(t); (1.6)

D_K(t) = N*P_K(t) * (1-P_K(t)). (1.7)

Таким чином, задачу визначення середніх чисельностей станів системи S зведено до задачі визначення імовірностей P_K(t) станів окремих елементів. Ці імовірності визначаються на основі сформованого графу станів окремого елемента щодо досліджуваного технологічного процесу. При цьому необхідно знати інтенсивності λ_і, які переводять елемент зі стану S_і в стан S_і+1. Величина —середній час перебування елемента в стані S_і.

Як приклад розглянемо систему, що складається з N вантажних вагонів, кожен з яких може знаходитися в таких станах: Е₁— справний, Е₂ — в технічному огляді, Е₃ — в ремонті. Тоді відповідний граф станів має наступний вигляд, як на рисунку 1.1.

Рисунок 1.1 – Граф станів вантажного вагона

Позначимо через m₁ — чисельність вантажних вагонів у справному стані Е₁; m₂ — чисельність вантажних вагонів у технічному огляді; m₃— чисельність вантажних вагонів у ремонті.

Складемо систему диференційних рівнянь Колмогорова безпосередньо для середніх чисельностей станів m_K(t):

(1.8)

Для кожного моменту часу t повинна виконуватися умова нормування:

m₁+m₂+m₃=N. (1.9)

Систему диференційних рівнянь (1.8) потрібно розв’язувати при початкових умовах: t=0; m₁=N; m₂=0; m₃=0.

Процес розв’язання доцільно проводити аналітичними або чисельними методами в середовищі MatLab.

В результаті розв’язання будуть отримані залежності m_K= m_K(t), які схематично мають вигляд, наведений на рисунку 1.2.

Рисунок 1.2 – Залежності середніх чисельностей станів системи m_K(t)

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 140; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!