Классификация алгебр на основе двух операций. Примеры.
Применительно к множествам операции дистр
| Св-ва Назв. | ассоциац | коммутат | Пустое множество | -a | дистрибут | ассоциац | коммутат | 1 | А-1 |
| 1) Кольцо | + | + | + | + | + | - | - | - | - |
| 2) Ассоциативное кольцо | + | + | + | + | + | + | - | - | - |
| 3) Коммутативное кольцо (абелево) | + | + | + | + | + | - | + | - | - |
| 4) Поле | + | + | + | + | + | + | - | + | + |
| 5) Коммутативное поле (абелево) Тело | + | + | + | + | + | + | + | + | + |
В качестве примера рассмотр множества с элементами числами
<N, +> - коммутат полугруппа
<N u(объединение) 0, +> - коммутат моноид
<Z, +> - коммутат группа (Z - целые)
<N, x> - коммутат моноид
<Q (без 0), x> - коммутат группа
Метрическое пространство и его аксиоматика. Практическое применение.
Если элементы в некотором множестве связаны метрикой, то это позволяет с помощью числа сравнивать сложные объекты. Можно экспериментально не наблюдать 3-ий объект, а получить ег с помощью операций. Это прогноз свойств.
Если пространство нормарованно то это позволяет измерить числом сложные абстрактные объекты
Пространство метрическое, если каждая пара его эл-ов связана неотрицат-ым числом. Это число наз-ют метрикой или расстоянием.
Аксиомы:
1) 
(аксиома о существовании метрики)
2) 
, если а=b (аксиома идентичности)
3) 
(аксиома симметричности)
4) 
(аксиома треугольника)
Задание метрики позволяет сравнивать объекты (м.б. сложн-ые конструкции), путем определения расст. м/у ними (различия задаются одним числом). В некот случаях это примитивный способ сравнения, а в др. удается найти метрику, кот позволяет хорошо сравнивать сложные объекты. Наличие метрики позволяет строить сист-ы автоматич. распознав-ия.
|
|
|
Примеры метрики; кодовое расстояние (Хемминга).
Пространство метрическое, если каждая пара его эл-ов связана неотрицат-ым числом. Это число наз-ют метрикой или расстоянием.
Примеры метрик линейных пространств:
1)
2)
Если объекты а и b отвечают свойствам метрики то и пространство будет Евклидовым.
Для кодового или Хемингового расстояния в кач-ве эл-ов выступают кодовые слова, рассм-ые как n-мерные картежи одинак-ой длины, элементы картежей – значения алфавита Um. Е=(Um, n). Кодовым или хеминг-ым расстоянием наз-ют число позиций в которых различаются два слова.
Линейное пространство и его аксиоматика; примеры.
Если на данном множестве элементов удаётся выявить операцию позволяющую из 2 элементов сформир 3, а также формир новые элементы путём умножения на скаляр и если элементы эти вязны метрикой, то мы получаем пространство нового типа наз. линейным. Его свойства определяются метрикой
|
|
|
Аксиомы (+ возможно аксиомы из 5):
5) 
6) 
(аксиома ассоциативности)
7) 
(аксиома о коммутативности)
8) 
(аксиома о существовании 1 операции)
9) 
(аксиома о существовании противоположности)
10) 
(аксиома о деформируемости любого элемента множества)
11) 
(аксиома о деформируемости суммы 2-х элементов)
12) 
(аксиома о деформируемости любого элемента суммой 2-х чисел)
Линейное пространство должно обладать св-ми аддитивности (А5-А9) и однородности (А10-А12).
Пр. лин. пространства:
1) множ. дейст. чисел х€R.
2)Пространство n-мерных векторов х€R^n,
3) простр-во ф-ии опред-ых на отрезке (a, b) можно сформировать как линейное. x(t)€c[a, b], a≤ t ≤b, z(t)=x(t)+y(t), y(t)=αx(t), 0=y(t)≡0 A a<=t<=b.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 216; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!