Глава 4. Распределения, используемые в теории надежности
4.1. Распределения и область их применения
Для анализа надежности машин в процессе эксплуатации необходимо иметь сведения о наработках до отказа элементов, на основании которых осуществляют оценивание показателей надеж-ности исследуемого объекта. Получение же оценок надежности основано на различных предположениях о законах распределения наработок до отказа.
24
Выдвижение гипотезы о принадлежности наработок к тому или иному распределению может основываться либо на изуче-нии физики явлений, приводящих к отказу, либо на основе ана-литического исследования статистических данных об отказах оборудования.
Исследование надежности металлургического оборудования показало, что наработки оборудования можно описать в большин-стве случаев следующими распределениями:
- экспоненциальным (показательным);
- нормальным;
- логарифмически нормальным;
- Вейбулла.
Экспоненциальное распределение характерно для внезап-ных отказов, когда элемент не стареет, а также для отказов слож-ных технических систем независимо от причины их возникновения.
Нормальным распределением описываются наработки, дли-тельность которых определяется процессами изнашивания (старе-ния).
Логарифмически нормальное распределение точнее, чем нормальное, описывает наработки до отказа вследствие развития усталости, а также время восстановления работоспособности из-делия.
|
|
Если элемент подвержен как внезапным, так и постепенным отказам, то наиболее приемлемым является распределение Вей-булла.
В каждом конкретном случае только на основании исследо-вания характера повреждения можно принять решение о принад-лежности полученных наработок к тому или иному распределению.
Например, мы исследуем надежность линии привода фор-мирующего ролика моталки стана горячей прокатки полос.
1 | 2 | 3 |
M
Рис.4.1. Кинематическая схема линии привода формирующего ролика моталки:
1 - карданный вал;
2 - подшипники качения;
3 - формирующий ролик
Опыт эксплуатации линии привода формирующего ролика показал, что отказы возникают по следующим причинам:
- износ бронзовых втулок в шарнире Гука;
25
- износ шлицевого соединения карданного вала;
- разрушение подшипника качения;
- износ бочки ролика;
- поломка цапфы ролика.
Примем в качестве элемента, надежность которого изучаем, ролик. В этом случае наиболее вероятным является предположе-ние об использовании распределения Вейбулла, так как отказы ролика происходят как по износу бочки, так и по поломкам цапфы.
Для изучения надежности элемента - карданный вал - наи-более вероятным является использование нормального распреде-ления.
|
|
Если же мы хотим исследовать надежность элемента - под-шипника качения, то следует принять логарифмически нормаль-ное распределение, так как его разрушение есть следствие разви-тия усталостных трещин.
Исследование же надежности элемента - линии привода формирующего ролика – будет основываться на экспоненциаль-ном распределении, так как это сложная техническая система.
Принимаемые решения (гипотезы) не являются окончатель-ными и должны проходить проверку по критериям согласия*.
Распределения, используемые в теории надежности, назы-вают законами надежности.
4.2. Экспоненциальный (показательный) закон
Так называют распределение (рис.4.2), для которого
P ( t )= e − λ t ; | (4.1) |
Это однопараметрическое распределение с параметром λ - интенсивность отказов. Ввиду своей простоты оно получило широ-кое распространение при исследованиях надежности машин. Но произвольное его использование может приводить к грубым ошиб-кам.
Для экспоненциального распределения: | |
плотность вероятности отказов | |
f (t)= λe−λt ; | (4.2) |
интенсивность отказов | |
λ(t) = λ = Const; | (4.3) |
|
|
26
числовые характеристики:
λ = | 1 | ; | ||||
T | ||||||
T = Mξ; | (4.4) | |||||
D = | 1 | ; | ||||
λ 2 | ||||||
σ = λ1 ;
ν = σT =1.
Коэффициент асимметрии A=2. Эксцесс Е=6.
Характерным признаком экспоненциального распределения является равенство коэффициента вариации ν единице. Экспонен-циальное распределение является распределением без последствий, так как λ = Const , т.е. вероятность отказа в каждую последующую еди-ницу времени остается неизменной сколько бы ни проработал безот-казно элемент до данного момента времени. Но необходимо отметить, что вероятность безотказной работы с течением времени снижается, т.е. чем дальше рассматривается момент времени от начала эксплуа-тации, тем меньше вероятность того, что объект будет находиться в работоспособном состоянии (см. рис.4.2).
Но если объект не отказал к рассматриваемому моменту време-ни, то вероятность его отказа в последующую единицу времени будет та же, что и в начальный момент эксплуатации.
Пример 4.1. Наработка пружин механизма уравновешивания верхнего шпинделя имеет экспоненциальное распределение со сред-ней наработкой Т =40 сут.
|
|
Построить график плотности данного распределения и функцию распределения.
Решение.
Построение графиков осуществляем, используя формулы
(4.1) - (4.3) .
27
- ln P(t) | tgα = λ | ||||
а | |||||
а | |||||
0,368 | α | ||||
1/ λ | 0 | t | |||
0 | 1/ | λ | t | ||
б | |||||
б | λ | ||||
1 | |||||
0 | 1/ | λ | t | ||
λ(t) | |||||
λ = const | |||||
в | в | ||||
0 | t | ||||
Рис.4.2. Экспоненциальное распределение: | |||||
a – вероятность безотказной работы; | |||||
б – плотность вероятности отказов; | |||||
в – интенсивность отказов |
28
Плотность вероятности отказа (плотность функции распределения)
10 | |||||||||||||||
f (t =10)=1 e−40 | = 19,4 ×10 | −3 ; | |||||||||||||
40 | f (t) | 10-3 | |||||||||||||
f(t=20)=15,2*10-3; | 25 | ||||||||||||||
f(t=30)=11,8*10-3; | 20 | ||||||||||||||
f(t=40)=9,2*10-3; | 15 | ||||||||||||||
f(t=50)=7,2*10-3; | 10 | ||||||||||||||
f(t=60)=5,6*10-3; | 5 | ||||||||||||||
f(t=70)=4,3*10-3; | |||||||||||||||
f(t=80)=3,4*10-3. | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | t,сут | |||||
Плотность отказа (функция Q(t) | |||||||||||||||
распределения) | 1 | ||||||||||||||
10 | |||||||||||||||
Q (t =10 )=1− e | − | = 0,22 ; | 0,8 | ||||||||||||
40 | |||||||||||||||
0,6 | |||||||||||||||
Q(t=20)=0,393; | 0,4 | ||||||||||||||
Q(t=30)=0,528; | 0,2 | ||||||||||||||
Q(t=40)=0,632; | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | t,сут | |||||
Q(t=50)=0,713; | |||||||||||||||
Q(t=60)=0,777; | |||||||||||||||
Q(t=70)=0,826; | |||||||||||||||
Q(t=80)=0,865. |
Пример 4.2. В линии привода формирующих роликов мотал-ки происходят внезапные отказы роликов.
Определить, в какой момент времени может быть обеспече-на вероятность безотказной работы P(t) = 0,8, если в межремонт-ный период t = 30 сут вероятность отказа Q(t) = 0,632.
Решение.
Из-за отсутствия другой информации предполагаем, что на-работки роликов описываются экспоненциальным распределением (отказы происходят внезапно).
Для экспоненциального распределения значение Q(t) = 0,632 соответствует моменту времени, равному средней наработке:
tp=T.
Для экспоненциального распределения
P (t )= e −λt ,
29
отсюда
t = − λ1ln P (t )= −T ln P (t );
тогда
t=-30ln0,8 = 6,7 сут.
4.3. Нормальный закон
Нормальное распределение – это двухпараметрическое распределение (рис.4.3) с плотностью
f (t)= | 1 | (t − µ)2 | |||||
σ π | exp − | 2σ 2 | , | (4.5) | |||
2 |
где µ, σ - параметры распределения.
Вероятность безотказной работы
P(t)=0,5 | t − | µ | ||||
− Φ | , | (4.6) | ||||
σ | ||||||
где (t-µ)/σ = uq - квантиль нормированного распределения.
Вероятность попадания в интервал [α, β] выражается фор-мулой
β − µ | α − µ | |||||
P[α < t < β]= Φ |
| − Φ | . | |||
σ | σ | |||||
Свойства функции Лапласа Ф(x):
1. Ф(0) = 0; 2.Ф(-x)=- Ф(x); 3. Ф(± ∞)=±0,5.
Интенсивность отказов
λ( t ) = ϕ (u ) ,
σ·P ( t )
(4.7)
(4.8)
30
u | = | t − µ | ||||||
σ | ||||||||
где ϕ (u) - табличное значение (см. табл.2). | ||||||||
P(t) | σ =0.5 | |||||||
σ =1 | ||||||||
σ =2 | ||||||||
0 | µ =1 | a | t | |||||
f (t) | ||||||||
σ1 | = 0.5 | |||||||
1 | ||||||||
σ * | 2π | |||||||
σ 2 | =1 | |||||||
σ2 | σ1 | σ1 | σ2 | σ3=2 | ||||
0 | µ =1 | σ3 | б | σ3 | ||||
λ(t) | σ =0.5 | σ =1 | ||||||
σ =2σ =1 | ||||||||
0 | µ =1 | t | ||||||
µ =2 | в |
Рис.4.3. Нормальное распределение: а–вероятность безотказной работы;б–плотность вероятности отказов;в–интенсивность отказов
31
Числовые характеристики распределения: средняя наработка
T=Mξ=µ;
дисперсия
коэффициент вариации | D=σ2; | ||||||||||||||||||
σ | |||||||||||||||||||
ν = | ; | ||||||||||||||||||
µ | |||||||||||||||||||
коэффициент асимметрии | А =0; | ||||||||||||||||||
эксцесс | E =0. | ||||||||||||||||||
Строго говоря, в теории надежности должен использоваться | |||||||||||||||||||
усеченный (слева) нормальный закон (рис.4.4) с плотностью | |||||||||||||||||||
c | ( t − µ2 ) | 2 | (4.9) | ||||||||||||||||
f ( t) = | σ | ⋅exp − | , | ||||||||||||||||
2π | 2σ | ||||||||||||||||||
так как наработки являются неотрицательными величинам, где | |||||||||||||||||||
− | µ | (4.10) | |||||||||||||||||
C =1−Ф | σ | . | |||||||||||||||||
Вероятность безотказной работы | |||||||||||||||||||
| t −µ |
| |||||||||||||||||
P(t)= C ⋅0,5−Φ |
| ; | (4.11) | ||||||||||||||||
σ | |||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||
Интенсивность отказов | |||||||||||||||||||
t - | µ | −1 | |||||||||||||||||
0,5 | − Ф |
|
|
| 2 |
| |||||||||||||
λ(t )= |
|
| σ |
|
| (t − µ) | |||||||||||||
| . | (4.12) | |||||||||||||||||
2 | |||||||||||||||||||
σ ⋅ | 2π | ⋅ exp − | 2σ | ; | |||||||||||||||
|
На графике рис .4.4 видно, что с увеличением срока эксплуа-тации интенсивность отказов растет, т.е. снижается надежность изделия.
Для усеченного нормального распределения при (µ /σ)>3 ха-рактеристики практически совпадают с нормальным распределе-нием
µ/σ | 1 | 2 | 3 |
C | 1,189 | 1,023 | 1,001 |
32
P(t) | |||||||
1 | |||||||
0,5 | |||||||
0 | t | ||||||
µ = 1 | |||||||
µ = 2 | |||||||
µ = 3 | |||||||
µ = 4 | |||||||
f(t) | |||||||
С | |||||||
2π | |||||||
µ = 0 | |||||||
µ = 1 | µ = 2 | µ = 3 | |||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | t | ||
λ ( t ) | µ=0 | µ=1 | µ=2 | µ=3 | |||
5 | |||||||
4 | |||||||
3 | |||||||
2 | |||||||
1 | |||||||
0 | t | ||||||
2 | 4 | 6 | |||||
Рис.4.4. Усеченное (слева) нормальное распределение : | |||||||
а -вероятность безотказной работы; | |||||||
б –плотность вероятности отказов; | |||||||
в –интенсивность отказов |
33
Поэтому широко используются более простые зависимости нормального распределения для стареющих элементов.
Пример 4.3. Ролики транспортного рольганга имеют наработ-ки, распределенные по нормальному закону с математическим ожи-данием µ =350 сут и средним квадратичным отклонением σ=50 сут.
1. Найти вероятность безотказной работы роликов на 300
сут.
2. Построить график интенсивности отказов.
3. Если вероятность появления отказов в процессе эксплуа-тации не должна превышать 20%, то через какой период времени необходимо проводить их замену?
Решение.
Вероятность безотказной работы находим по формуле (4.6).
P(t =300)=0,5−Ф 300−350=0,5+0,341=0,841.
50
Функцию Лапласа Φ ((t-µ)/σ) находим из табл. 1 прил. Б для функции нормированного нормального распределения. Построе-ние графика интенсивности отказов осуществляем, используя формулу (4.8).
Так как из условия задачи вероятность отказа Q(t)=0,2, то вероятность безотказной работы P(t)=0,8.
Тогда табличное значение квантили u0,8 нормального рас-
пределения равно (-0,842) из табл.3. прил.Б. Следовательно, за-мену роликов необходимо проводить через
t =350−u0 ,8⋅50=350−0,842⋅50=308 сут.
Пример 4.4. Наработки шарнира универсального шпинделя описываются нормальным распределением с математическим ожиданием µ=40 сут и средним квадратичным отклонением σ=20 сут.
Определить, при какой величине µ (σ=const) и при какой ве-личине σ (µ=const) будет обеспечена в межремонтный период tp=30 сут вероятность отказа Q (t=30)=0,1.
Решение.
Для обеспечения заданной вероятности отказа uq=0,9= −1,28(табл.3,прил.Б),тогда
34
t −σµ = −1 . 28,
отсюда
µ = t +1,28σ =30+1,28×20=55 ,6 сут;
σ = − | t − µ | = | 30 − 40 | = 7 ,8 сут. | |
1, 28 | |||||
1, 28 |
Следовательно, для обеспечения вероятности безотказной работы P(t=30)=0,9 необходимо выполнить мероприятия либо по повышению средней наработки шарнира универсального шпинде-ля в 1,4 раза, либо по снижению стандарта до 7,8 сут.
Как правило, повышение средней наработки связано с суще-ственными затратами, направленными на повышение износостой-кости.
Величина среднего квадратичного связана с нарушениями технологического процесса получения материала, процесса изго-товления изделия и правил его технической эксплуатации.
Поэтому достижение более низких значений среднего квад-ратичного является следствием не только чисто технических, но и организационных мероприятий.
4.4. Логарифмически нормальный закон
Логарифмически нормальное распределение – распределе-ние двухпараметрическое (рис.4.5) с плотностью распределения
f (t)= | 1 | (ln t − m)2 | |||||
exp − | ; | (4.13) | |||||
σ ×t × π | 2σ | 2 | |||||
где σ и m - параметры распределения.
Вероятность безотказной работы
ln t − m | (4.14) | ||||
P ( t )= | 0 ,5 − Φ | . | |||
σ | |||||
Интенсивность отказов
ln t − m |
| ||||||
ϕ |
| ||||||
σ | |||||||
λ ( t )= | . | (4.15) | |||||
t × σ × P ( t ) | |||||||
35
P(t)
1
0,8
0,6
0,4µ =0 | µ =1 µ =2 µ =3 |
0,2 |
0
а
F(t)
µ =0
µ =0,5
µ =1
0
б
λ(t)
µ =0
µ =0,5
µ =1
0
в
t
t
t
Рис.4.5. Логарифмически нормальное распределение: а–вероятность отказов;б–плотность вероятности отказов;в–интенсивность отказов
Для логарифмически нормального распределения характер-но возрастание интенсивности отказов с увеличением срока экс-плуатации.
36
Числовые характеристики:
средняя наработка | |||||||||
σ 2 | (4.16) | ||||||||
T = | exp | m | + | ; | |||||
2 | |||||||||
дисперсия | −1); | ||||||||
D = e 2m+σ 2 (eσ 2 | (4.17) | ||||||||
коэффициент вариации | |||||||||
ν = | σ 2 | −1 . | |||||||
e |
Пример 4.5. Наработка до отказа подшипника скольжения механизма уравновешивания шпинделей имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами m=4, σ=1.
1. Найти вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при наработке t =60 сут.
2. Определить величину средней наработки.
Решение.
Подставляя в формулу (4.14) численные значения m, σ и t, получим
P(t =60)=0,5−Φln 60−4=0,5−0,036=0,464,
1
где Ф(0,04)=0,036 из табл.1 прил.Б нормированного нормаль-ного распределения.
Используя выражение (4.15), находим интенсивность отка-
зов. | ln 60 | − 4 | ||||||
ϕ |
| 0,3973 | ||||||
1 | ||||||||
λ (t )= | = | = 0,014 , | ||||||
60 × 1 × 0,464 | 60 × 0,464 | |||||||
где Ф(0,04)=0,3973 из табл.2 прил.Б.
Значение величины средней наработки находим по формуле
(4.16)
T = exp 4 + 12 = 90 сут. 2
37
4.5. Закон Вейбулла
Закон Вейбулла - это двухпараметрическое распределение (рис.4.6) с плотностью отказов
f (t)= | b | t b−1 | t b | |||||||
× |
| exp − |
| , | ||||||
a | ||||||||||
a | a | |||||||||
где b - параметр формы; a - ресурсная характеристика.
Вероятность безотказной работы
P (t )=exp | t b | |||||
| − |
| . | |||
a | ||||||
Интенсивность отказов
λ (t )= | b | tb −1 | |||
× | . | ||||
a | |||||
a |
Числовые характеристики:
средняя наработка
T = a × Γ 1 + 1 ; b
дисперсия
D = | a | 2 | 2 | 2 | 1 | ||||||||||
| Γ 1 | + |
| − Γ | 1 | + |
| ; | |||||||
b | b | ||||||||||||||
коэффициент вариации
2 | 2 | 1 | |||||||||||||||||||||
Γ 1 | + |
| − Γ |
| 1 | + |
| ||||||||||||||||
D | b | b | C b | ||||||||||||||||||||
ν = | = | = | . | ||||||||||||||||||||
T |
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||||
Γ 1 | + |
|
| Γ | 1 | + |
| ||||||||||||||||
b | b | ||||||||||||||||||||||
|
|
(4.18)
(4.19)
(4.20)
(4.21)
(4.22)
(4.23)
38
P(t) | |||||
1 | |||||
0,8 | |||||
0,6 | |||||
0,4 | |||||
0,368 | b =0,5 | ||||
0,2 | |||||
b =1 | |||||
0 | b =4 | b =2 | |||
1 | а | 2 | t | ||
а=1 | |||||
f (t) | a =1 | ||||
b =4 |
a =1 | ||||
b =2 | ||||
a =2 | ||||
b =2 | ||||
0 | 1 б | 2 | t | |
λ (t ) | ||||
b >2 | b =2 | |||
2 > b >1 |
0
b =1
b =0.5
в t
Рис.4.6. Распределение Вейбулла:
а –вероятность безотказной работы;б–плотность вероятности отказов;в–интенсивность отказов
39
Для закона Вейбулла интенсивность отказов имеет различ-ный характер изменения с течением времени в зависимости от па-раметра b.
При b =1 интенсивность отказов есть величина постоянная и распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное распре-деление.
Для b=2 распределение Вейбулла переходит в распределе-ние Релея, и интенсивность отказов описывается уравнением пря-мой
λ ( t )= | 1 | t | . | (4.24) | |||
2 σ | 2 × | ||||||
Для b>2 интенсивность отказов растет с течением времени. Если же b<1, интенсивность с течением времени снижается, что, как указывалось выше, характерно для начального периода экс-плуатации новых изделий.
Пример 4.6. Наработка 7 секции транспортного рольганга имеет распределение Вейбулла с параметрами a=60 сут, b =l,9.
Найти вероятность безотказной работы и интенсивность от-казов при наработке t= 40 сут.
Найти среднюю наработку на отказ. Решение.
Подставляя исходные данные в формулу (4.19), получим
P ( t =40 )=exp | − | 40 | 1 , 9 | = 0 , 629 | |||||
|
|
| . | ||||||
60 | |||||||||
Интенсивность отказов находим по формуле (4.20)
λ (t = | 40 ) = | 1,9 | 40 | 1, 9 −1 | |||
40 | × | 60 | = 0 ,022 . | ||||
Средняя наработка на отказ в соответствии с формулой
(4.21)
T | 1 | ||||||||
= 60 | × Γ 1 | + |
| = 60 × 0,887 | = 53 ,22 сут. | ||||
1,9 | |||||||||
где Г(1+1/1,9) - гамма-функция, значение которой находится из табл.6. прил.Б.
4.6. Непараметрические классы распределений наработки
40
Рассматривая вышеприведенные распределения, мы виде-ли, что интенсивность отказов λ(t) может быть как возрастающей, так и убывающей. Поэтому в основу классификационных призна-ков распределений наработки можно положить характер измене-ния интенсивности отказов. И в этом случае различают:
- распределения с возрастающей функцией интенсивности отказов (ВФИ - распределения);
- распределения с возрастающей в среднем функцией ин-тенсивности отказов (ВСФИ - распределения').
В классе ВСФИ-распределений содержатся, например, усе-ченное нормальное, экспоненциальное, Вейбулла при значении параметра формы b>1.
ВФИ- и ВСФИ-распределения являются непараметрически-ми, когда неизвестен вид функции распределения – F(t).
Наработки можно отнести к классу ВСФИ при работе изде-лия в условиях ударных нагрузок. Предполагается, что система подвергается воздействию ударов, которые возникают случайным образом и вызывают повреждения (перегрузки) системы. Повреж-дения накапливаются до тех пор, пока не будет достигнут или пре-взойден некоторый критический уровень, при этом в системе на-ступает отказ (постепенный).
Упражнения
1. Средняя наработка подшипника скольжения уравновеши-вания шпинделей равна 44 сут. Вероятность безотказной работы в момент времени t=44 сут, P(t)=0,368.
Определить вероятность отказа в межремонтный период tp=30 сут.
2. Секция транспортного рольганга содержит 20 роликов. Наработки роликов описываются распределением Вейбулла с па-
раметрами a=150, b=2.
Определить возможное число отказов роликов: а) на интервале [0, 120] сут; б) на интервале [120, 150] сут;
в) на интервале [120, 150] сут при безотказной работе до момента времени t=120 сут.
3. Известно, что время восстановления работоспособности линии привода валков описывается логарифмически нормальным распределением m=0,5, σ=0,2.
41
Определить среднее время восстановления работоспособ-ного состояния и вероятность восстановления работоспособного состояния за 2 ч.
4. Зубчатые муфты распределительного редуктора в количе-стве 5 шт. выходят из строя по износу. Известно, что их средняя наработка T=100 сут, стандарт. σ=30 сут.
Определить возможное число отказов муфт в межремонтный период t=60 сут.
5. По условиям примера 4 определить возможное число от-казов муфт в следующий межремонтный период, если принято решение не проводить текущий плановый ремонт.
6. Наработки секции транспортного рольганга описываются распределением Вейбулла с параметрами a=60, b=2,0. В межре-монтный период tp=60 сут отказов не было. Было принято решение не проводить плановый ремонт.
Определить число отказов секции в следующий межремонт-ный период.
7. По условиям примера 6 определить величину средней на-работки и интенсивность отказов в конце межремонтного периода.
8. По условиям примера 6 найти показатели безотказности в момент времени t=50 сут.
9. Наработка пружин механизма уравновешивания верхнего шпинделя описывается экспоненциальным распределением с па-раметром λ=0,025.
В какой момент времени с начала эксплуатации вероятность безотказной работы будет равна 0,8 и какова вероятность отказа в данный момент времени?
10. Наработки подшипников качения механизма уравнове-шивания шпинделей описываются логарифмически нормальным распределением с параметрами m=5,5, σ=1.
Найти интенсивность отказов в момент времени t=60 сут и вероятность отказа на интервале [60, 90] сут.
11. Карданные валы формирующих роликов моталки имеют ресурсную характеристику а=80 (сут) и коэффициент вариации
ν=0,6. Межремонтный период t=30 сут.
- определить вероятность отказа в межремонтный период
- определить вероятность отказа на 30 сутки
- определить возможное число отказов в следующий меж-ремонтный период, если в предыдущем отказов не было.
42
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1232; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!