Расчет и построение частотных характеристик
Nbsp; 4. Частотные характеристики и операторные функции электрических цепей 4.1. Параметры электрических цепей Большинство электрических цепей служат средством связи для передачи сигналов от источника сигнала в нагрузку (рис. 4.1), где x(t) – сигнал на входе цепи. Он называется входным сигналом, или воздействием; y(t) – выходной сигнал, или отклик: y(t) = F(x(t), a, b, c). Рис. 4.1 Когда схема электрической цепи неизвестна, недоступна или нас не интересует, ее изображают в виде прямоугольника с рядом выводов (полюсов) схемы, с помощью которых она соединяется с другими устройствами. 1. В зависимости от числа выводов (полюсов) электрические цепи делятся на двухполюсники, четырехполюсники, многополюсники (рис. 4.2) 2 1 2 21 1 11 2 1 1 n Рис. 4.2 2. В зависимости от наличия в цепях активных элементов различают пассивные и активные цепи. Активные цепи содержат источники (активные элементы), а пассивные их не содержат. Активные цепи делят на автономные и неавтономные. Автономные цепи содержат независимые источники, а неавтономные содержат только зависимые источники. В общем случае связь между откликом и воздействием имеет вид дифференциального уравнения. Если цепь линейная, то уравнение линейное, где a, b, c – параметры элементов, входящих в цепь. Если входной сигнал гармонический, то его представляют комплексной амплитудой. → . Если цепь линейная, то откликом такой цепи является гармонический сигнал с комплексной амплитудой . Причем связь между комплексной амплитуды отклика и воздействия имеет вид линейного алгебраического уравнения: , , где H (a, b, c) – параметр электрической цепи (это комплексное число). Параметр цепи есть отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия.
|
|
|
Параметры двухполюсника
Двухполюсником является цепь с двумя выводами рис. 4.2. Его режим работы характеризуется двумя величинами 
1. Если воздействием считать амплитуду тока, то откликом будет являться напряжение на нем.
По закону Ома: 
, где Z – сопротивление двухполюсника. (Z = R+jX – комплексное число, где R и X – резистивная и реактивная составляющие сопротивления двухполюсника).
Обобщенная схема замещения двухполюсника приведена на рис. 4.3.
2. Если воздействием считаем амплитуду напряжения, тогда откликом будет амплитуда тока, связанная с напряжением:
; 
,
где Y – второй параметр двухполюсника, он называется комплексной проводимостью двухполюсника:
Y = G + jB,
G и B – резистивная и реактивная составляющие проводимости двухполюсника.
Вторая схема замещения двухполюсника приведена на рис. 4.4. Эти схемы замещения при определенном выборе параметров эквивалентны.
|
|
|
Параметры четырехполюсника
Параметры четырехполюсника можно разбить на четыре группы:
1. Входные параметры связывают 
и 
:
По отношению к источнику сигнала четырехполюсник является двухполюсником, а поэтому его входные параметры аналогичны параметрам двухполюсника:
, 
,
где Zвх – входное сопротивление четырехполюсника; Yвх – входная проводимость четырехполюсника.
2. Передаточные параметры характеризуют передачу сигнала с входа на выход, или, как говорят, передачу в прямом направлении. Передаточных параметров четыре
; 
; 
; 
,
где Ku – коэффициент передачи по напряжению;
Ki – коэффициент передачи по току;
Kiu – сопротивление прямой передачи, или коэффициент преобразования ток – напряжение;
Kui – проводимость прямой передачи, или коэффициент преобразования напряжение – ток.
3. Выходные параметры:
а) Zвых = 
,
где Zвых – комплексное выходное сопротивление;
– комплексная амплитуда выходного напряжения в режиме холостого хода (х.х). Холостой ход – это режим, когда выполняются условия: İ2m = 0, Zн = ∞;
– комплексная амплитуда выходного тока в режиме короткого замыкания (к.з). Короткое замыкание – это режим, когда Zн = 0.
|
|
|
б) 
– комплексная выходная проводимость.
4. Параметры обратной передачи сигнала. Они характеризуют передачу сигнала с выхода на вход. Таких параметра четыре, и они аналогичны параметрам второй группы: (Ku, Ki, Kiu, Kui).
4.2. Частотные характеристики
Поскольку сопротивления элементов цепей зависят от частоты, то параметры цепей оказываются частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепей от частоты называют частотными характеристиками (ЧХ), или частотными функциями цепи.
Каждый параметр цепи имеет свою частотную характеристику. Название ЧХ дают в соответствии с названием параметра, например ЧХ входного сопротивления, ЧХ коэффициента передачи напряжения.
Комплексная ЧХ (КЧХ) есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде воздействия. Как всякую комплексную функцию ее можно записать в одной из трех форм записи: показательной, алгебраической и тригонометрической (применяется редко).
,
где 
, 
– реальная и мнимая составляющие КЧХ электрической цепи. H(ω) = Ym/Xm – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), это модуль комплексной функции:
mod [H(jω)] = H(w) = 
.
АЧХ есть зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе (без учета начальных фаз).
|
|
|
j(w) = jy – jx – фазо-частотная характеристика (ФЧХ), или аргумент комплексной функции – arg[H(jω)] = 
.
ФЧХ есть зависимость от частоты сдвига по фазе между выходным и входным сигналами.
Для наглядности ЧХ цепей представляют в графическом виде.
Расчет и построение частотных характеристик
Численный расчет проводят по аналитическим выражениям АЧХ, ФЧХ, АФХ. В качестве переменной используется циклическая частота f. Результаты вычислений приводят в таблице:
| Частота, f | Модуль H(f) | Аргумент j(f) | Re[Н(jω)] | Im[Н(jω)] |
Расчет частотных характеристик всегда проводят в определенном (ограниченном) диапазоне частот, в котором проявляются основные частотные свойства электрической цепи. Величину диапазона частот можно оценить с помощью особых точек (нулей и полюсов) операторной передаточной функции H(p), которая получается из частотной передаточной функции заменой мнимой переменной jω на комплексную переменную 
:
В качестве нижней граничной частоты fн можно принять значение, близкое к величине 
где 
– расстояние от начала координат до ближайшей особой точки (нуля p0 или полюса p*), т.е. модуль особой точки, ближайшей к началу координат: S = ½p0 ½ или S = ½p*½.
За верхнюю граничную частоту fВ можно взять значение 
где Smax – расстояние от начала координат до самой удаленной особой точки.
Графически частотные характеристики можно представить в двух формах:
1. В виде двух графиков – АЧХ и ФЧХ. При построении графиков АЧХ и ФЧХ пользуются следующими масштабами по осям: линейным и логарифмическим. Если диапазоны изменения частоты по оси абсцисс и функции (коэффициент передачи) по оси ординат составляют два и более порядков, то пользуются логарифмическим масштабом по двум осям. Если диапазон изменения одной величины (частоты или функции) не больше двух порядков, то пользуются полулогарифмическим масштабом (по одной оси линейный масштаб). Если диапазоны частоты и функции не превышают двух порядков, то график изображают в линейном масштабе.
На рис. 4.6, а приведен график в линейном масштабе, на рис. 4.6, б – в полулогарифмическом, а на рис. 4.6, в – в двойном логарифмическом масштабе.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а б в
Рис. 4.6
2. В виде графика амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФХ), построенной на комплексной плоскости, который называют годографом. Годограф – это геометрическое место точек, которые описывает конец вектора комплексной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до бесконечности.
Для построения годографа обычно используют алгебраическую форму записи частотной характеристики Н(jω) = = Re[Н(jω)] + j Im[Н(jω)]. Далее для определенных частот ωi рассчитывают значения Re[Н(jω)] = Н1(ωi) и Im[Н(jω)] = Н2(ωi) и составляют таблицу данных для построения АФХ, а затем, как обычно, наносят эти точки на плоскость и, соединив их, получают график годографа (рис. 4.7).
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 629; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!