Теплопровідність циліндричної стінки при граничних умовах першого роду
Під теплопередачею в циліндричній стінці розуміють таку теплопередачу, при якій тепло поширюється тільки по радіусу r (товщині), а по висоті і по азимуту (куту φ) поширенням теплоти нехтуємо. Задається, що d1=2r1; d2=2r2, r – перемінний радіус, який змінюється від r1 до r2 (геометричні умови).
Фізичні умови: λ – теплопровідність стінки.
Граничні умови:
Коли r =r1, тоді t=t1
Коли r =r2, тоді t=t2.
Необхідно знайти густину теплового потоку q і закон зміни температури від товщини стінки (r). В нашому випадку замість декартової системи координат краще застосувати циліндричну.
Оператор Лапласа
. Так як 
, то і 
, а так як
, то і 
–- умова плоскої стінки.
Запишемо рівняння в повних диференціалах:
. Введемо нову зміну 
, тоді 
і 
. Отже:
ln u + ln r =ln c1
u=c1/r;
dt=udr=c1dr/r
t=c1 ln r + c2, де с1 і с2 – константи інтегрування, які знаходяться використовуючи граничні умови першого роду:
t1=c1 ln r1 + c2 
t2=c1 ln r2 + c2 
.
І, нарешті, маємо:
– рівняння температурного поля в циліндричній стінці. З рівняння Фур'є для стінки 
, оскільки 
, і F=2πrl, тоді
- це тепловий потік, який проходить через стінку. Густина теплового потоку для внутрішньої стінки: 
. Для зовнішньої стінки: 
. Порівнюючи дві останні вирази, оскільки d1<d2, то q1<q2. Тобто, для криволінійної поверхні q не характеризує інтенсивність однозначно. Введемо поняття лінійної густини теплового потоку: 
, де [ql]=Вт/м.
Теплопровідність циліндричної стінки при граничних умовах третього роду
|
|
|
Граничні умови третього роду, це випадок, коли стінка занурюється у зовнішнє середовище, тобто омивається ним. Нехай стінка всередині контактує з рідиною, яка має температуру tp1, тепловіддача теплоти від рідини до стінки характеризується α1, ззовні стінка омивається холодною рідиною з температурою tp2 і коефіцієнтом тепловіддачі α2; таким чином, теплота віддається від гарячої рідини до стінки – це процес тепловіддачі – далі ця ж теплота проводиться через циліндричну стінку шляхом теплопровідності.
Необхідно знайти в цих умовах залежність теплового потоку від теплопровідності стінок. Оскільки величина теплового потоку є величина стала і не змінюється, то
Перепишемо ці рівняння відносно різниці температур:
Складемо їх:
. Позначимо через
, kl –лінійний коефіцієнт теплопередачі, який характеризує інтенсивність передачі теплоти від гарячої рідини до холодної через циліндричну стінку, що їх розділяє: [kl]=Вт/(м·К).
Величина обернено пропорційна до лінійного коефіцієнту теплопередачі називається лінійним термічним опором теплопередачі
. Якщо тепло проводиться через багатошарову циліндричну стінку, тоді:
|
|
|
, величина Rl – повний термічний опір.
. Якщо d2/d1<2, тобто мала кривизна, тоді можна використовувати рівняння отримані для плоскої стінки, в цьому випадку похибка не перевищує 4%. Якщо в якості поверхні брати ту поверхню, для якої α менше, то похибка стає ще меншою.
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 541; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!