Стационарное электрическое поле
Экзаменационные задачи по модулю «Теория электромагнитного поля»
Уравнения электромагнитного поля
Задача 1.1.
По цилиндрическому проводу радиусом 2 см протекает электрический ток 31,4 А. Определить модуль rotH внутри проводника.
Задача1.2.
Индукция магнитного поля в бесконечно длинном проводе круглого сечения радиусом R=2см направлена по оси провода и меняется по закону Bz=1+0.1sin(314t ) Тл.
Определить модуль rotE при R=1см.
Задача1.3.
Плоский воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин радиуса r0=2 см, отдаленных друг от друга на расстояние d=1мм, находится под напряжением u=200sin(2π·106t) B.Пренебрегая краевым эффектом, определить плотность тока смещения.
Задача 1.4.
Плоский конденсатор с диэлектрической проницаемостью εr=3.14, γ=10-8См/м и d=1 см подключен под синусоидальное напряжение u(t)=200sin(360t+45º) B. Определить выражение мгновенной плотности тока в конденсаторе. Краевым эффектом пренебречь.
Задача1.5.
Вдоль оси z цилиндрической системы координат в воздухе расположен длинный цилиндрический прямолинейный провод с радиусом r0и абсолютной магнитной проницаемостью μ; вдоль повода протекает постоянный ток I.
Интегрируя уравнение rotH=j,определить вектор H внутри провода.
В цилиндрической системе координат 
Задача1.6.
НайтиrotEв точке находящейся на расстоянии r0=0.2 м от линейного бесконечно длинного проводника с током i=14,1sin105tА. Проводник расположен в воздухе.
|
|
|
Задача1.7.
Плоский воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин радиуса r0=2 см, отдаленных друг от друга на расстояние d=1мм, находится под напряжением u=200sin(2π·106t) B.Пренебрегая краевым эффектом, определить зависимость напряженности магнитного поля от расстояния rот центра пластин (при 0≪r≪r0).
а) H= Hα =r·11,1cos(2π·106t )А/м2б) H= Hα =r·5,5cos(2π·106t ) А/м2
в) H=Hα=5,5sin(2π·106t ) А/м2 г)H=Hz=11,1·rcos(2π·106t ) А/м2
Задача1.8.
Индукция магнитного поля в бесконечно длинном проводе круглого сечения радиусом R=2см направлена по оси провода и меняется по закону Bz=1+0.1sin(314t )Тл
Интегрируя уравнение 
,определить вектор Eвнутри провода.
В цилиндрической системе координат 
Задача1.9.
Бесконечно длинная стальная пластина, ширина dкоторой много больше ее толщиныh, расположена в плоскости y=0, нормальной к линиям индукции =Bmsinωtоднородного магнитного поля. Определите зависимость плотности jz(x)тока по ширине пластины при допущении, что магнитная индукция, обусловленная индуцированным в пластине током, значительно меньше Bm. Удельная электрическая проводимость стали равна 106 См/м. рассчитайте ток в пластине при d=5 см,h=2 мм,Bm=0.001 Тл, ω =314 с-1.
|
|
|
Задача1.10.
Определите зависимость плотности jz(x)тока, индуцированного в тонком стальном диске, толщина h, которого много меньше радиусаRи плоскость которого перпендикулярна линиям индукции B=Bmsinωt внешнего однородного поля при допущении, что индукция, созданная индуцированным в диске током, много меньше индукции внешнего магнитного поля. Удельная электрическая проводимость стали равна 106 См/м. Bm=0.001 Тл, ω=314 с-1.
Электростатическое поле
Задача А.1.Определить модуль вектора напряженности электростатического поля
E = 7x ×1x + 5z ×1y + cy×1z , (В/м)
в точке с координатами x=2 (м), y=3 (м), z=4 (м).
(rotE=0)
Задача 2.1.
Вдоль оси zцилиндрической системы координат расположена бесконечно длинная заряженная нить. Напряженнось поля в очке P(rp=20см; αp=0) Ep=1r500 В/см. Рассчитать разность потенциалов между точками M(rm=10см; αm=270º) и N(rN=27,2см; αN=135º).
Задача2.2.
Вдоль осиzцилиндрической системы координат параллельно земли на расположен бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом r. Считая заданными h, d , r (r≪ h), определить вектор электрического смещения в точке В.
Задача2.3.
Вдоль оси z цилиндрической системы координат над землей расположен бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом r0=3 мм. Определить вектор электрического смещения в точке В, если заряд на единицу длины провода равна τ= 3.14 мКл/м; h=4 м; d=3 м. Учесть, что r0≪ h и d.
|
|
|
Задача2.4.
Бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом r0=3 мм расположен в диэлектрике (εr=5). Какой заряд на единицу длины можно сообщить цилиндру, если пробивная напряженность диэлектрика Епр=2000 кВ/см?
Задача2.5.
Вдоль оси z цилиндрической системы координат над землей расположен бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом r0=3 мм. Определить разность потенциалов UAB, если заряд на единицу длины провода равна τ= 3.14 мКл/м; h=4 м; d=3 м. Учесть, что r0≪ h .
Задача2.6.
Напряженность равномерного электрического поля впервой среде равна Е1=1000 В/см и составляет угол θ1=30º с нормалью к поверхности раздела сред. Найти напряженность электрического поля во второй среде если отношение удельных проводимостей равно γ2/ γ1=1,73.
а) 1730 В/см б) 578 В/см в) 705 В/см г) 1410 В/см
Задача2.7.
Напряженность равномерного электрического поля в первом слое плоского конденсатора равна 20 В/см. Определить величину напряжения, под которое подключен конденсатор
|
|
|
Задача2.8.
Определить напряженность электрического поля в каждом слое плоского конденсатора, подключенного к источнику напряжения U=60 В.
Задача2.9.
Шины расположены в масле с диэлектрической проницаемостью равной 3.
U1-U2=3 кВ; d=2см.
Определить по картине поля емкость (конденсаторная) системы проводов на единицу длины
а) 18ε0 б) 20 ε0 в) 10 ε0 г) 1.5 ε0
Задача2.10.
На расстоянии b = 5 мм от левого электрода плоского конденсатора помещена тонкая металлическая сетка. Необходимо определить потенциал сетки. Расстояние между пластинами d = 20 мм. На конденсатор подано напряжение U = 200 В. Проницаемость диэлектрика между пластинами εr = 1.
а) 0 б) 50 В в) 200 В г) 150 В
Задача2.11.
У коаксиального кабеля длиной l=10 м радиус внутренней жилы r1=2 мм, внутренний радиус оболочки r2=5,44мм. Под какое напряжение можно включить кабель, если максимальная напряженность поля не должна превышать 1/4 пробивной напряженности, равной 2·104 кВ/м?
а) 20 кВ б)27.2 кВ в) 10 кВ г) 40 кВ
Задача2.12.
В пространство между обкладками плоского конденсатора, расстояние между которыми d=6 см и напряжение 16 В вставлена проводящая пластина толщиной с=2 см; b=1 см. Определить потенциал проводящей пластины.
а) 8 В б) 0 в) 12 В г) 4 В
Задача2.13.
У коаксиального кабеля длиной l=10 м радиус внутренней жилы r1=2 мм, внутренний радиус оболочки r2=5,44мм. Под какое напряжение можно включить кабель, если максимальная напряженность поля не должна превышать 1/4 пробивной напряженности, равной 2·104 кВ/м?
а) 20 кВ б)27.2 кВ в) 10 кВ г) 40 кВ
Задача2.14.
По картинеполя плоского воздушного конденсатора определить ёмкость на единицу длины в поперечном направлении.
Параметры: d=2 см; а=6 см. ε0
а) ≃3ε0 б) ≃2ε0 в) ≃1.5ε0 г) 5≃ε0
Задача2.15.
Напряженность электрического поля в пространстве между двумя пластинами, присоединенными к источнику постоянного напряжения U0, изменяется по закону E=2,4·104x-104В/м. Расстояние между пластинами d=1см,диэлектрическая проницаемость ε=ε0. Определить объемную плотность заряда ρ(x); распределение потенциалаφ(x ); напряжениеU0.
Задача 2.16
Максимальная напряжённость электростатического поля в изоляции цилиндрического конденсатора составляет Еmax = 30 кВ/см. Требуется определить напряжение, приложенное к конденсатору, и его ёмкость, если
l = 5 м, er= 2, r1 = 1 см, r2 = 2.72 см,
Задача2.17.
Потенциал внутри заряженного шара, находящегося в воздухе, φ=-109r3+103В, где r- расстояние от центра шара. Радиус шараr0=1 см. Найти закон изменения потенциала вне шара и закон изменения объемной плотности заряда от радиуса.
Задача2.18.
Заряд равномерно распределен с плотностью ρ=10-4 Кл/м3 по объему бесконечно длинного цилиндра радиусом r0=3 см. Диэлектрическая проницаемость цилиндра и окружающей среды ε0.
Найти закон изменения потенциала внутри и вне цилиндра. Вычислить разность потенциалов между точками, лежащими на оси цилиндра и его поверхности.
Задача2.19.
Объемная плотность электрического заряда, находящегося в воздухе между двумя весьма длинными соосными проводящими цилиндрическими поверхностями радиусами r1 иr2, изменяется по закону ρ=a+br, гдеaиb-постоянные.
Определить напряженность E(r)электрического поля.
Задача2.20.
Объемная плотность электрического заряда, находящегося в воздухе между двумя весьма длинными соосными проводящими цилиндрическими поверхностями радиусами r1 , r2, изменяется по закону ρ=a+br, гдеaиb-постоянные.
Определить потенциал φ(r)электрического поля.
Задача 2.21.
Максимальная напряжённость электростатического поля в изоляции цилиндрического конденсатора составляет Еmax = 30 кВ/см. Требуется определить напряжение, приложенное к конденсатору, и его ёмкость, если
l = 5 м, er= 2, r1 = 1 см, r2 = 2.72 см,
Задача 2.22.
Междудвумяплоскими электродами (рис.12.20) напряжённость поля изменяется по закону E=Ex= E0· 
, Ey= 0, Ez= 0.
Считая заданными параметры: d, a,b,E0, er, найти выражения для разность потенциалов между электродами, объёмной плотности свободного заряда и всего свободного заряда, заключённого между электродами.
Задача 2.23.
Между проводником радиусом r0, расположенным в воздухе параллельно земле на высотеh(h≫r0),и землёй действует напряжение U .
Определить выражения ёмкостиС0, энергии поля W0исилыF0, действующей на единицу длины проводника.
Задача 2.24.
Плоский конденсатор заполнен неоднородным диэлектриком с er(х) = 4d/(d+ x). Пластины конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения U0.
Определить зависимости от координаты х напряжённости поля и значения вектора поляризации. Найти ёмкость и заряд конденсатора при заданном напряжении. Расстояние между пластинами d, их площадь S.
Стационарное электрическое поле
Задача Б.1.
При векторе напряженностиE = 3x ×1x - 2y ×1y+ cz×1z , (В/м)
определить модуль вектора плотности тока δ (А/мм2) в точке с коорди-
натамиx=0,2 (м), y=0,2 (м), z=0,2 (м) при заданной удельной проводи-
мости среды γ=15·106 (1/Ом·м).
Решение.
Для определения коэффициента c вектора напряженности
используем законы Ома и Кирхгофа в дифференциальной форме
divD= div(g E) =g × div(E) = 0,
Задача Б.2.
При заданном векторе плотности тока
δ= 4x ×1x + 3y ×1y - 7z ×1z , ( А/мм2).
Определить значение потенциала φ (В) видаφ= Ax2 + By2 + Cz2 в точке с
координатами x=3 (м), y=2 (м), z=1 (м) при известной удельной прово-
димости среды γ=10·106 (1/Ом·м).
Решение. Переведем заданный вектор плотности тока δ в (А/м2) и
по закону Ома в дифференциальной форме запишем вектор напряжен-
ности:
Далее на основании уравнения 
…
Задача 3.1.
Потенциал постоянного электрического поля в проводящей среде с удельной проводимостью 10-4 См/м изменяется по закону φ=cx2-cy2+d,где c=1 В/м;d=2 В.
Найти законы изменения плотности тока δ иdivδ.
Подсчитать ток, протекающий через квадратную площадку со стороной a=50 см, которая расположена параллельно плоскости x0yи находится на расстоянии b=10 см от нее.
Задача 3.2.
Плотность тока проводимости в первой среде равен 10 А/мм2. Определить плотность тока во второй среде, если θ1=45º. А отношение проводимостей
γ2/ γ1 = 1.73
Задача 3.3.
К коаксиальному кабелю приложено постоянное напряжение 1000 В. Длина кабеля 1 км. Отношение r2/r1 равно 2.72.
Удельная проводимость изоляции равна 1·10-6 Ом-1м-1. Определить ток утечки кабеля.
Задача 3.4.
Удельные проводимость диэлектриков слоев двухслойной изоляции цилиндрического коаксиального кабеля равны γ1=10-8 См/м; γ2=10-9 См/м; r1=3 См;r3=5См;r2=4 См.Определите подведенное к конденсатору напряжение, при котором ток утечки составляет 2·10-3 А. Длина кабеля 1 км.
Задача 3.5.
К коаксиальному кабелю приложено постоянное напряжение 1000 В. Длина кабеля 1 км. Отношение r2/r1 равно 2.72.
Ток утечки кабеля равен 6.28 мА.
Определить удельную проводимость изоляции.
Определить ток утечки кабеля.
Задача 3.6.
Полусферический заземлитель погружен в почву с удельным сопротивлением r=50000 Ом·см. С заземлителя растекаетсяток I=200А. Найти шаговое напряжение на расстоянииа=10м отзаземлителя
(шаг l=0,8м).
Задача 3.7.
Определите удельную проводимость грунта, если радиусзаземлителя R0=25 см, I=5 кА, a=40 см, b=100 см. Вольтметрпоказывает U=100 В.
Задача 3.8.
Плоский конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет площадь обкладок 20 см2; толщину слоев d1=1 см;d2=0,5 см; γ1=10-9См/м; γ2=5·10-9 См/м. Конденсатор включен под постоянное напряжение 200 В. Определить проводимость утечки через изоляцию кабеля. Найти напряжения на каждом слое изоляции.
Задача 3.9.
Определить ток при коротком замыкании одной из фаз (Uф = 30 кВ) линии на опору, если радиус фундамента R=3.14 м; удельная проводимость грунта равна 0.1 См/м. Удельная проводимость материала фундамента много больше удельной проводимости грунта. Для упрощения расчетов будем считать, что фундамент опоры имеет форму полушария с радиусом R.
Задача 3.10.
Проводящая пластина представляет собой ¼ диска. Внутренний радиус диска r1=1 см, внешний радиус - r2=2.72 см. Толщина пластины h=0.1 см; удельная проводимость γ=107 См/м. Между электродами 1 и 2 поддерживается постоянная разность потенциалов. Найти разность потенциалов между электродами, если наибольшее значение плотности тока J=3.18·106А/м2.
Задача 3.11.
Плоский конденсатор с диэлектрической проницаемостью εr=3.14, γ=10-8См/м и d=1 см подключен под синусоидальное напряжение u(t)=200sin(360t+45º) B. Определить выражение мгновенной плотности тока в конденсаторе. Краевым эффектом пренебречь.
Задача 3.12.
К плоской проводящей шайбе с помощью медных пластин, врезанных в шайбу радиально, подключён источник постоянного напряжения. Удельное сопротивление материала шайбы r=0,5∙10 -6Ом∙м, размеры шайбы: толщинаа = 1 мм, внутренний радиус r1 = 5 см, внешний радиусr2 = 8 см.
Определить наибольшее и наименьшее значения плотности тока в шайбе, а также ток через источник напряжения U = 1,57 В.
Задача 3.13.
Рассчитать ток утечки плоского двухслойного конденсатора и тепловые потери в единице объёма второго диэлектрика.
d1 = 1 см, d2 = 2 см, g1 = 5·10-8См/м,
g2 = 2·10-8См/м, U = 1,8 кВ, S = 0,01 м2.
Задача 3.14.
В плоском конденсаторе с несовершенной изоляцией удельная проводимость меняется по закону γ=γ0(1+kx); γ0 =10-10; k=20 м-1. Диэлектрическая проницаемость εr=4;d=0.5 см. Конденсатор подключен под постоянное напряжение 200 В. Пренебрегая краевым эффектом, найти закон изменения плотности объемного заряда и закон изменения потенциала .
Задача 3.15.
В подземных условиях шахт защитное заземление часто выполняется в виде полуцилиндра длиной lи радиусом r0, как показано на рисунке.
Размеры заземлителя: l= 2,5 м; l/r0 = 2.72. Удельная проводимость почвы g= 0,32cм/м.
Рассчитать сопротивление заземлителя.
Задача 3.15.
Вдоль прямолинейного цилиндрического биметаллического провода протекает ток I.Удельные проводимости слоев провода γ1иγ2. Найти плотность тока во внешнем слое провода.
Стационарное магнитное поле
Задача В.1.
В среде с постоянной магнитной проницаемостью μа
при векторе напряженности
H= = ax× 1x- xy× 1y+ xz× 1z,(А/м)
найти коэффициент а и в точке с координатами x=1 (м), y=2 (м), z=3 (м)
определить модуль вектора плотности тока δ (А/м2).
Решение. Для определения коэффициентаа вектора напряженности
используем закон непрерывности магнитного потока в дифференциальной формеdivB= div(μH) = μ× div(H) = 0 , 
.
Задача 4.1.
Напряженность равномерного магнитного поля впервой среде равна Н1=1000 А/см и составляет угол θ1=30º с нормалью к поверхности раздела сред. Найти напряженность электрического поля во второй среде, если отношение удельных проводимостей равно μ2/μ1=1,73.
Задача 4.2.
Вдоль прямолинейного цилиндрического биметаллического провода протекает ток I.Удельные проводимости слоев провода γ1иγ2. Найти напряженность магнитного поля во внешнем слое провода.
Задача 4.3.
Определить вектор напряженности магнитного поля H в цилиндрической полости радиуса r0 внутри проводящего круглого стержня бесконечной длины, по которому протекает постоянный ток с равномерной плотность δ.
Задача 4.4.
Поцилиндрическому проводнику протекает постоянный токI.Определитьмагнитный поток, сцепляющийся с тонкой квадратной рамкой, расположенной в цилиндрическом канале.
Задача 4.5.
Вдоль прямолинейного цилиндрического провода радиусом r1 протекает постоянныйток I0.Ось zцилиндрической системы координат совпадает с направлением тока.
Определить скалярный магнитный потенциал φми его градиент gradφм.Принять потенциал равным нулю в точках, лежащих на прямой 0М.
Задача 4.6.
По картине поля определить магнитную проводимость воздушного промежутка, ограниченного жирными силовыми линиями.
Задача 4.6.
По проводам радисомr=1см и расположенным в вершинах правильного треугольника (b=1м, считать r≪b) протекают токи образующие симметричную систему токов прямой последовательности. iA=62.8sinωtA. Определить Напряженность магнитного поля на оси провода В при t=0.
Задача4.7.
Рассчитать магнитный поток, созданный уединенным проводником в однородной среде сквозь прямоугольную рамку AB длиной l, длинные стороны которой параллельны проводнику.
Задача 4.8.
Прямоугольная рамка находится в воздухе в одной плоскости с длинным цилиндрическим проводом радиуса R.По проводу протекает постоянный ток I. Найти магнитный поток Φ, пронизывающий рамку, если векторный магнитный потенциал магнитного поля вне провода изменяется по закону:
A =1zμ0 I/(2π)·ln(R/r).
Задача 4.9.
По металлической трубе, материал которой обладает магнитной проницаемостью mr и находящейся в воздухе, замыкается ток I. Рассчитать магнитное поле внутри, вне и в теле трубы.
Задача 4.10.
Рассчитать магнитные напряжения UmАВ, UmСD, UmЕG поля уединённого проводника с током I в однородной среде с магнитной проницаемостью m.
Задача 4.11.
На ферритовое кольцо соотносительной магнитной проницаемостью μr=400 нанесена обмотка с числом витков w=100.
Определить взаимную индуктивность обмотки и цилиндрического провода (см. рисунок), если r1=0,5 см;r2=1 см;r3=2,7см.
Задача 4.12.
Определить внешнюю индуктивность, обусловленную потоком в изоляции коаксиального кабеля на единицу длины, если векторный потенциал в области изоляции равен
A=-μ0 I/(8π)-μ0 I/(2π)·ln(r/r1).
Задача 4.13.
Энергия от генератора к приемнику передается по коаксиальному кабелю. Удельная проводимость материала жилы и оболочки – γ=5·107 См/м; r1=1 мм;r2=2.72 мм;r3=3 мм. Определить радиальную составляющую вектора Пойнтинга Пrв точке на поверхности жилы в момент, когда напряжение между жилой и оболочкой в рассматриваемом сечении равно u=100 В, а ток в i= 1А.
Задача 4.14.
Энергия от генератора к приемнику передается по коаксиальному кабелю. Удельная проводимость материала жилы и оболочки – γ=5·107 См/м; r1=1 мм; r2=2.72 мм; r3=3 мм. Определить осевую составляющую вектора Пойнтинга Пzв точке на поверхности жилы в момент, когда напряжение между жилой и оболочкой в рассматриваемом сечении равно u=314 В, а ток в i= 1 А.
Задача 4.15.
По рамке формой равностороннего треугольника со стороной а = 10 см протекает ток I = 120 A. Определить напряженность Н магнитного поля в центре рамки.
Задача 4.16.
На стальной тор радиуса R (с квадратным сечением со сторонойa) намотано N витков проволоки, по которой течет ток I. Считая проволоку достаточно тонкой, определить индуктивность L тороидальной катушки, если относительная магнитная проницаемость стали равна μr.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 987; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!