Формула полной вероятности и формула Байеса

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

Если некоторое событие В совершается с одним из п несовместрых событий , образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полкой вероятности

Для определения вероятности события при условии, что произошло событие В, используется формула Байеса

96. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго — б и от третьего — 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7.

Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без отказа в течение гарантийного срока;

б) проработавший без отказа двигатель изготовлен на первом заводе?

В) проработавший без отказа двигатель изготовлен на втором заводе?

97. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в отношении 3:4:6. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 95%, второй – 80%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что

а) приобретенное изделие окажется стандартным

б) приобретенное изделие оказалось нестандартным

в) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

Г) приобретенное изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

Д) Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено второй фирмой?

98. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.

б) Случайно выбранный замок является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе?

99. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй — 35, третий — 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго — 0,02, у третьего — 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий.

100. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Приобретенное изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно поставлено второй фирмой.

101. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем ³/₄ продукции с процентом брака 4%, вторая — ¹/₄ продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие:

а) окажется бракованным;

б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.

102. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель — 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это а) сапоги, б) туфли?

103. В группе 4 отличника, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо студентов. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. На экзамен наугад приглашается один студент. Какова вероятность того, что он получит хорошую оценку?

104. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель 0,85. Какова вероятность того, что отобранная для проверки пара отремонтирована качественно?

105. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 2% брака, второй 3% брака. Найти вероятность того, что наугад взятая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом, если с первого автомата поступило 1000 деталей, а со второго 2000.

106. Известно, что 90% выпускаемой продукции соответствует стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

107. В первой бригаде токарей 2 рабочих имеют первый разряд, 2 рабочих – второй, 5 рабочих – четвертый. Во второй бригаде 1 токарь имеет первый разряд, 4 токаря – третий, 2 токаря – четвертый. Из первой бригады во вторую переведен один токарь. Найти вероятность того, что рабочий, наудачу выбранный из нового состава второй бригады, имеет разряд не ниже второго.

108. В правом кармане имеется три монеты по 1 рублю и четыре монеты по 50 копеек, а в левом шесть монет по 1 рублю и три монеты по 50 копеек. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана (после перекладывания) монеты в 1 рубль, если монета берется наудачу.

109. В магазин бытовой техники поступила партия холодильников трех торговых марок: «Дед Мороз», «Снегурочка» и «Северный олень». В поступившей партии 10% холодильников «Дед Мороз», 40% холодильников «Снегурочка», остальные – «Северный олень». Известно, что холодильники данных торговых марок не требуют ремонта в течение гарантийного срока, соответственно, в 98%, 88% и 92% случаях.

А) Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии холодильник не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Б) Случайно выбранный холодильник сломался в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что это холодильник марки «Снегурочка»

110. Аналитик, занимающийся прогнозом котировок акций компании, ожидает роста стоимости акций с вероятностью 0.85, при условии, что экономика страны будет находиться в состоянии подъема. По его оценкам, в случае экономического спада, вероятность роста котировок акции компании снижается до 0.40. Согласно предварительным прогнозам вероятность экономического подъема в стране в следующем году оценивается на уровне 65%. Перед аналитиком поставлена задача: дать оценку вероятности роста цен на акции компании в новом году. Каков Ваш прогноз?

111. Сотрудник консалтингового агентства проводит анализ тенденций на валютном рынке с целью расчета доходности будущих инвестиций. Согласно предварительному прогнозу, укрепление доллара США в период активного экономического роста ожидается с вероятностью 0.75; в период умеренного экономического роста с вероятностью 0.45 и в период стагнации с вероятностью 0.25. Кроме того, есть основания полагать, что активный экономический рост будет происходить с вероятностью 0.25, умеренный экономический рост с вероятностью 0.35 и будет наблюдаться стагнация с вероятностью 0.40.

А) Какова вероятность того, что в прогнозируемый период произойдет укрепление доллара?

Б) Известно, что в прогнозируемый период произошло укрепление доллара. Какова вероятность того, что этот период ознаменован высокими темпами экономического роста

112. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% — государственные органы, 20% — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно.

А) Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.

Б) Начальнику кредитного отдела доложили, что получено факсимильное сообщение о неисполнении обязательств по возврату кредита, в котором очень плохо пропечаталось имя клиента. Найти вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк.

113. Для принятия решений о покупке ценных бумаг была разработана система анализа рынка. Из данных за прошлые периоды известно, что 5% всех ценных бумаг являются «плохими» — не подходящими для инвестирования. Предложенная система определяет 98% «плохих» ценных бумаг как потенциально «плохие», но при этом 15% ценных бумаг, пригодных для инвестиций, также определяет как потенциально «плохие».

1) Найти вероятность того, что ценная бумага подходит для инвестирования, при условии, что данной системой анализа рынка она была определена как потенциально «плохая».

2) Найти вероятность того, что ценная бумага не подходит для инвестирования, при условии, что данной системой анализа рынка она была определена как потенциально «хорошая».

3) На основе полученных результатов прокомментировать пригодность системы для принятия инвестиционных решений.

114. В район изделия поставляются тремя фирмами. Известно, что первая фирма поставляет товар с браком в 0,1%, вторая – 0,15%, третья – 0,25%. С первой фирмы поступило 500, со второй – 200, а с третьей – 300 изделий. Найти вероятность, что приобретённое изделие окажется

а) стандартным;

б) нестандартным;

в) какова вероятность, что стандартное изделие поступило с третьей фирмы?

115. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,71. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынке в течение интересующего нас периода, равна 0,38. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

116. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,970. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,03. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,005. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

117. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,05, а в период экономического кризиса – 0,15. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,63. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

118. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,55; в противном случае – в 0,33. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

119. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 10 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?

120. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Эксперт по туризму, нанятый компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью – 0,70, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 2233; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!