D-разбиение по одному(комплексному) параметру
Рис. 3.30. Построение границы D-разбиения
Отрезок АБ лежит в области устойчивости
Устойчивость систем с запаздыванием
Системы автоматического управления могут содержать звенья, и которых зависимость между входной u(t)и выходной у(t)величинами имеет вид
(3.145)
где — постоянная величина, называемая временем запаздывания. Такие звенья называют запаздывающими, так как они воспроизводят изменения входной величины без искажения, но с некоторым постоянным запаздыванием .
Передаточная функция запаздывающего звена:
(3.146)
Системы, содержащие звенья с распределенным запаздыванием, требуют для своего описания дифференциальных уравнений в частных производных.
Структурная схема одноконтурной системы автоматического управления, содержащей одно запаздывающее звено, может быть представлена либо так, как показано на рис. 3.32 а, а,если запаздывающее звено находится в прямой цепи, либо так, как показано на рис. 3.32 б, если запаздывающее звено находится в цепи обратной связи.
Рис.3.32. Структурная схема САУ с звеном запаздывания
Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием равна
(3)
гдеW(s) — R(s)/Q(s)— передаточная функция разомкнутой системы без учета запаздывания, представляющая собой дробно-рациональную функцию оператора s.
|
|
Если запаздывающее звено находится в прямой цепи, то передаточная функция замкнутой системы
(3.148)
Если же запаздывающее звено находится в цепи обратной связи, то передаточная функция замкнутой системы
(3.149)
характеристическое уравнение системы с запаздыванием имеет вид
(6)
Это характеристическое уравнение из-за наличия множителя является не полиномом, а трансцендентной функцией оператора s и в отличие от обыкновенного алгебраического уравнения имеет бесконечное множество корней. Так как
(3.151)
то (6) можно рассматривать как уравнение «бесконечной степени».
Для того чтобы линейная система с постоянным запаздыванием была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (6) были левыми.
Для исследования устойчивости систем с запаздыванием можно применять основанные на принципе аргумента частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста либо метод D-разбиения.
Уравнение кривой (годографа) Михайлова системы с запаздыванием получают после подстановки s= jω в характеристическое уравнение (6), т. е.
|
|
(7)
Для исследования устойчивости систем с запаздыванием очень удобно применять критерий устойчивости Найквиста.
Формулировка критерия устойчивости Найквиста для систем с запаздыванием в этом случае аналогична формулировке для обычных систем, имеющих дробно-рациональные передаточные функции.
Частотную передаточную функцию разомкнутой системы с запаздыванием находят, подставляя s =jω в (3):
(3.153)
гдеW(jω) = U(ω) + jV(ω) — амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы без учета запаздывания;
—амплитудно-частотная характеристика;
-фазочастотнаяхарактеристика разомкнутой системы без учета запаздывания;
(3.154)
— фазочастотная характеристика разомкнутой системы с запаздыванием.
Из (8) и (9) видно, что наличие запаздывающего звена не меняет модуля А(ω) амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы , а вносит лишь дополнительный отрицательный фазовый сдвиг , пропорциональный частоте, причем коэффициентом пропорциональности является время запаздывания .
Зная амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы без запаздывания, легко построить амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы с запаздыванием. Для этого каждый модуль А(ωi) вектора амплитудно-фазовой характеристики нужно повернуть на угол по часовой стрелке. С ростом частоты ωугол будет быстро расти, а модуль А(ω) обычно уменьшается, поэтому амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы с запаздыванием имеет вид спирали, закручивающейся вокруг начала координат (рис. 3.33).
|
|
Рис. 3.33. АФЧХ разомкнутой системы с запаздыванием
«Закручивание» амплитудно-фазовой характеристики из-за наличия дополнительного фазового сдвига ωτ, вообще говоря, ухудшает условие устойчивости, так как вся амплитудно-фазовая характеристика приближается к критической точке (—1, j0). Однако иногда при сложной форме амплитудно-фазовой характеристики введение постоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости.
Изменяя время запаздывания τ в широких пределах, можно найти такое его значение, при котором замкнутая система будет находиться на границе устойчивости. В этом случае характеристика будет проходить через точку (—1, j0). Время запаздывания и соответствующее ему значение частотыωкр, при которых проходит через точку (—1,j0), называют критическими.
|
|
Для критического случая справедливо следующее условие:
(3.155)
Условие (10) можно записать раздельно для амплитуд и фаз вектора, :
; (3.156)
, (3.157)
где i = 0, 1, 2, 3, ...
Из (11) можно найти сначала ωкр, а затем из (12) найти τкр, т. е.
(3.158)
Для систем автоматического управления с запаздыванием основное значение имеет минимальное критическое время запаздывания(при i= 0), которое является в то же время и граничным
, (3.159)
где - запас устойчивости по фазе
При сложном выражении для частотной передаточной функции W(jω) разомкнутой системы определение критического времени запаздывания просто выполнить графически. Условие определяется пересечением годографа W(jω) с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3.34). Точка пересечения определяет одновременно и угол , который, будучи разделен на , даст значение критического времени запаздывания.
Рис. 3.34. Определение критического времени запаздывания.
Если имеется несколько точек пересечения годографа W(jω) с окружностью единичного радиуса, например при , , (рис. 3.35), то система будет иметь несколько критических граничных времен запаздывания:
; ; . (3.160)
причем минимальное время запаздывания равно . Система будет устойчива при , а также при . Система будет неустойчива при , а также при . Наблюдаемое в этом случае чередование участков устойчивости и неустойчивости системы при непрерывном изменении (а также других параметров системы) является характерной особенностью многих систем с постоянным запаздыванием.
Обычно для повышения быстродействия и точности системы время запаздывания стремятся уменьшить, поэтому критерий устойчивости формулируется лишь для минимального времени запаздывания.
Система автоматического управления будет устойчива, если время запаздывания меньше минимального критического времени запаздывания: .
Рис. 3.35. Определение нескольких критических времен запаздывания
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 684; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!