Пример решения оптимизационных задач методом производных
Задача. Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной садового участка в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине изгороди площадь участка была максимальной.
Решение. Обозначим длину участка а, ширину участка b (рисунок 4).
Рисунок 4
Длина изгороди (периметр) участка заданы, т.е.
p = 2(a+b) = const. (1)
Площадь участка по условию задачи должна быть максимальное, т.е.
S = a*b = max. (2)
Это целевая функция данной задачи. Выразим из (1) ширину через длину и периметр
b = 0,5p – a. (3)
Подставим это выражение в (2) и получим
S = a*b = 0,5pa – a2 = max. (4)
Исследуем (4) на экстремум по переменной а. Для этого возьмём производную 
и приравняем ее к нулю. В результате получим a = 0,25p. Подставим это значение в (3) и получим формулу для ширины
b = 0,5p – 0,25p = 0,25p.
Таким образом, окончательный результат
a = b = 0,25p.
Таким образом, участок прямоугольной формы с фиксированной длинной периметра будет иметь максимальную площадь при условии, если этот участок квадрат, т.е. ширина равна длине. Так как стоимость изгороди пропорциональна ее длине, то мы решили оптимизационную задачу: как при фиксированной стоимости на изгородь оградить её максимальную площадь в форме прямоугольника.
|
|
|
Пример решения оптимизационных задач графическим методом
Рассмотренную задачу в п.2.3 можно решить графическим способом, если выразить площадь S через один из параметров прямоугольника, Тогда получим параболу, у которой легко найти максимум (минимум, используя целые значения) (рисунок 5). Следует заметить, что минимум будет достигнут в двух точках.
|
|
|
Рисунок 5 – Решение задачи графическим способом:
точка 1 – точка максимума
точка 2 – точки минимума
ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Контрольная работа выполняется по одному из вариантов, приведенных в следующем разделе.
Пояснительная записка должна отражать ход выполнения контрольной работы.
Оформление пояснительной записки
Для защиты работы студент должен представить пояснительную записку.
Содержание пояснительной записки к работе следует разделить на разделы и подразделы; разделы должны иметь порядковые номера, обозначенные арабскими цифрами. Подразделы должны иметь порядковые номера в пределах каждого раздела. Каждый раздел должен начинаться с нового листа, а каждый пункт записывается с абзаца. Наименование раздела записывается в виде заголовков прописными буквами, а подразделов – строчными (кроме первой прописной). Точку в конце заголовка не ставят.
|
|
|
В начале пояснительной записки помещают содержание, в конце – список литературы.
Пояснительная записка имеет следующую структуру:
Введение
1. Задание (по варианту)
2. Решение задачи классическим способом
3. Решение задачи графическим способом
Заключение
Литература
Содержание разделов
В разделе «Введение»:
необходимо определить и дать краткую характеристику понятию «Основы математического моделирования социально-экономических процессов».
В разделе «Задание»:
должно быть изложено задание (условие задачи) в соответствии с вариантом. Вариант выбирается по последней цифре зачетной книжки.
В разделе «Решение задачи классическим способом»:
должны быть представлено решение задачи методом производных, пример которого представлен в теоретической части п. 2.3.
Раздел «Решение задачи графическим способом»:
должны быть представлено решение задачи графическим методом, пример которого представлен в теоретической части п. 2.4.
В разделе «Заключение»:
необходимо дать краткую характеристику выполненной работы.
|
|
|
В разделе «Литература» приводится список используемой литературы.
4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ*
0.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной садового участка в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине изгороди площадь участка была максимальной (длина изгороди равна 100 м; решить задачу графически).
1.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной автостоянки в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине забора площадь участка была максимальной (длина забора равна 60 м; решить задачу графически).
2.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной детской площадки в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине забора площадь детской площадки была максимальной (длина забора равна 44 м; решить задачу графически).
3.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной бассейна в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине бортиков площадь бассейна была максимальной (длина бортиков равна 80 м; решить задачу графически).
4.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной военной части в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине контрольно-следовой полосы площадь части была максимальной (длина контрольно-следовой полосы равна 1600 м; решить задачу графически).
|
|
|
5.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной садового участка в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине изгороди площадь участка была минимальной (длина изгороди равна 100 м; решить задачу графически).
6.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной автостоянки в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине забора площадь участка была минимальной (длина забора равна 60 м; решить задачу графически).
7.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной детской площадки в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине забора площадь детской площадки была минимальной (длина забора равна 44 м; решить задачу графически).
8.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной бассейна в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине бортиков площадь бассейна была минимальной (длина бортиков равна 80 м; решить задачу графически).
9.Необходимо выбрать такое соотношение между длиной и шириной военной части в виде прямоугольника, чтобы при заданной фиксированной длине контрольно-следовой полосы площадь части была минимальной (длина контрольно-следовой полосы равна 1600 м; решить задачу графически).
* вариант выбирается в зависимости от последней цифры в зачётной книжке. Если последняя цифра 1, то вариант – 1, если последняя цифра 2, то вариант – 2 и т.д.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 374; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!