Задачі для самостійного розв’язування

ІІІ. Практичні заняття

Магнетизм. Коливання і хвилі

Частина І. Електромагнетизм

Основні закони і співвідношення

· За законом Біо-Савара-Лапласа елемент струму в деякій точці простору створює магнітне поле, індукція якого

де: – елемент довжини провідника зі струмом силою І (напрям вектора співпадає з напрямом струму); – вектор, проведений від елемента до точки простору; – магнітна стала; – магнітна проникність середовища (для слабомагнітних речовин – пара- і діамагнетиків – незначно відрізняється від одиниці, у феромагнетиків і залежить від зовнішнього магнітного поля – див. приклад 6). Напрям вектора шукають як напрям векторного добутку або за правилом свердлика. Модуль вектора

· Принцип суперпозиції

де: – індукція магнітного поля, створеного і-тим провідником зі струмом; – індукція поля, створеного системою багатьох струмів.

· Зв’язок магнітної індукції з напруженістю магнітного поля

· Нижче виписані формули для модулів напруженостей магнітних полів, виведені на основі закону Біо-Савара-Лапласа і принципу суперпозиції:

а) для поля в центрі колового струму

R – радіус контура;

б) для поля прямолінійного провідника зі струмом на відстані R від нього

a₁ і a₂ – кути між напрямками векторів та на початку й кінці провідника;

в) для поля нескінченно довгого провідника зі струмом

;

г) для поля всередині нескінченно довгого соленоїда

;

– густота витків (N – число витків, що припадає на довжину l соленоїда; – число ампер-витків).

· В однорідному магнітному полі на прямолінійний провідник зі струмом довжиною l діє сила Ампера

;

модуль цієї сили

a – кут між напрямками векторів та . Напрям сили Ампера знаходять за правилом векторного добутку або за правилом лівої руки ( – в долоню!).

· Модуль сили взаємодії двох довгих паралельних провідників зі струмами

де: l – довжина провідника; I₁ та I₂ – сили струмів; d – відстань між провідниками.

· Сила Лоренца, що діє з боку магнітного поля на рухомий електричний заряд

де: q – заряд; – швидкість цього заряду; – магнітна індукція. Напрям сили Лоренца знаходять для позитивного заряду за правилом векторного добутку або за правилом лівої руки (для негативного заряду буде протилежний напрямок сили). Модуль сили Лоренца

· На плоский контур зі струмом у магнітному полі діє момент сили (обертальний момент)

де: – магнітний момент контура зі струмом;

І – сила струму, S – площа контура, – одиничний вектор позитивної нормалі до площини контура. Модуль обертального моменту

· Магнітний потік через деяку плоску поверхню в однорідному магнітному полі

, – одиничний вектор нормалі до площини, S – площа поверхні.

· Робота переміщення контура зі струмом у магнітному полі

де: І – сила струму; – зміна магнітного потоку через площадку, обмежену контуром; індекси “1” та “2” символізують вихідний і кінцевий стани, відповідно.

· Основний закон електромагнітної індукції:

– ЕРС індукції в контурі, що виникає при зміні магнітного потоку через поверхню, охоплену контуром. Якщо магнітний потік пронизує одночасно багато контурів (наприклад, соленоїд), то в законі потрібно замість потоку Ф через один контур писати повний магнітний потік (потокозчеплення) .

· Магнітний потік, створений контуром зі струмом

І – сила струму, L – індуктивність контура. У випадку системи з багатьох контурів потокозчеплення , де L – індуктивність цієї системи.

· Індуктивність соленоїда (довгого порівняно з діаметром)

де: N – число витків, що припадають на ділянку соленоїда довжиною l; S – площа поперечного перерізу соленоїда.

· ЕРС самоіндукції

де: L – індуктивність контура; І – сила струму; t – час.

· Енергія магнітного поля струму

· Густина енергії магнітного поля

Приклади розв’язування задач

Приклад 1.Два паралельні безмежно довгі провідники D і C, по яких течуть в одному напрямку електричні струми силою , розміщені на відстані один від другого. Визначити модуль магнітної індукції В поля, створеного провідниками зі струмом у точці А, що на відстані від одного і від другого провідника.

Розв’язання

Дано: І = 60 А d = 10 см R₁ = 5 см R₂ = 12 см

Зобразимо провідники зі струмами перпендикулярно до площини рисунка, тоді решта ліній будуть у цій площині. Напрямки векторів та індукції магнітних полів, створених у точці А провідниками зі струмами D і C, знаходимо або за правилом векторного добутку (див. закон Біо-Савара-Лапласа), або за правилом свердлика. Оскільки вектор перпендикулярний до прямої AD, а – до прямої AC, то маємо на рисунку два рівні кути a, як кути зі взаємно перпендикулярними сторонами.

На основі принципу суперпозиції

а модуль вектора знайдемо за теоремою косинусів:

. (1)

Модулі магнітної індукції та розраховуються за формулами

m₀ – магнітна стала, m – магнітна проникність середовища. Підставляючи ці вирази у формулу (1), маємо

Кут a розрахуємо за теоремою косинусів:

Звідси

Остаточно робоча формула має вигляд

Випишемо необхідні величини в одиницях СІ:

; (для вакууму, оскільки в умові задачі про середовище не згадувалося); ; ; . Виконаємо розрахунок.

Примітка. Ми виконали розрахунок для однієї з точок А простору, що підходять за умовою задачі. Легко переконатися, що таких точок є безліч, але для кожної з них результат розрахунку буде той самий.

Відповідь: 0,31 мТл.

Приклад 2.Електрон влітає в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній індукції. Модуль швидкості електрона , а модуль індукції магнітного поля . Знайти модулі тангенціального та нормального прискорення електрона в полі.

Розв’язання

Дано:

На заряджену рухому частинку в магнітному полі діє сила Лоренца, модуль якої розраховується за формулою

де q – заряд частинки, .

Сила Лоренца не виконує механічну роботу, бо ; з теореми про зміну кінетичної енергії в такому випадку маємо, що кінетична енергія, а внаслідок цього і модуль швидкості частинки, в полі не зміниться. Тому

Сила Лоренца призводить лише до зміни напряму вектора швидкості. Вона є нормальною силою (надає частинці нормального прискорення):

m – маса частинки. Тому у проекціях на напрям вектора маємо

звідки

Остання формула є робочою для розрахунку величини .

Випишемо тепер значення фізичних величин в СІ і виконаємо числовий розрахунок.

; ; , .

Відповідь: , .

Приклад 3.Плоский квадратний контур зі стороною а = 10 см, по якому тече струм силою І = 100 А, вільно установився в однорідному магнітному полі, модуль індукції якого В = 1 Тл. Визначити роботу А зовнішніх сил при повороті контура навколо осі, що проходить через середини його протилежних сторін, на кут .

Розв’язання

Дано: а = 10 см І = 100 А В = 1 Тл

А?

На контур зі струмом у магнітному полі діє обертальний момент

, (1)

де – магнітний момент контура. Модуль моменту сили

, (2)

; в даній задачі j є одночасно кутом повороту контура. За умовою задачі у вихідному положенні , а значить , тобто .

Якщо зовнішні сили виведуть контур з положення рівноваги, то виникне момент сили (1), що прагнутиме повернути контур у вихідне положенні. Проти цього моменту і буде виконана шукана робота А. Оскільки момент сили змінний (залежить від кута j), то спочатку розрахуємо елементарну роботу

Підставимо сюди вираз (2) і врахуємо, що , де – площа, охоплена контуром. Тоді

Інтегруючи цей вираз, знайдемо повну роботу при повороті на скінченний кут, рівний :

Остаточно

Проведемо числовий розрахунок (в одиницях СІ).

Відповідь: 1 Дж.

Приклад 4.Коловий дротяний виток площею S = 0,01 м² розміщений в однорідному магнітному полі, модуль індукції якого В = 1 Тл. Площина витка перпендикулярна до ліній індукції поля. Знайти середню ЕРС індукції , що виникає у витку при вимиканні поля протягом часу .

Розв’язання

Дано: S = 0,01 м² В = 1 Тл

Основний закон електромагнітної індукції математично записують так:

де Ф – магнітний потік через поверхню S, – миттєве значення ЕРС індукції, t – час. Відповідно, середнє значення ЕРС розраховується за формулою

де DФ – скінченний приріст магнітного потоку за проміжок часу Dt. За означенням

причому кінцеве значення потоку за умовою задачі. Початкове значення магнітного потоку розпишемо, виходячи з означення Ф, у частковому випадку однорідного магнітного поля і плоскої поверхні, котру пронизують лінії індукції:

де , – одиничний вектор нормалі до площини.

Отримуємо робочу формулу

В СІ ; (за умовою задачі).

Відповідь: 1 В.

Приклад 5. Соленоїд з осердям із немагнітного матеріалу має N = 1200 витків дроту, що тісно прилягають один до другого. При силі струму І = 4 А магнітний потік Ф₀ = 6 мкВб. Визначити індуктивність L соленоїда та енергію W його магнітного поля.

Розв’язання

Дано: N = 1200 І = 4 А Ф₀ = 6 мкВб

L? W?

Індуктивність зв’язана з повним магнітним потоком (потокозчепленням) Y і силою струму співвідношенням

Потокозчеплення, у свою чергу,

тому

Енергія магнітного поля всякого провідника зі струмом (в тому числі і соленоїда)

Підставляючи сюди отриманий вище вираз для індуктивності, маємо

Числовий розрахунок:

Ф₀ = 6×10^-6 Вб, N = 1,2×10³;

;

Відповідь: L = 1,8 мГн, W = 14 мДж.

Приклад 6. На залізний стрижень довжиною 50 см і перерізом 2 см² намотаний в один шар провід так, що на кожний сантиметр довжини стрижня припадає 20 витків. Визначити енергію магнітного поля в осерді соленоїда, якщо сила струму в обмотці 0,5 А.

Розв’язання

Дано: l = 50 см S = 2 см² n = 20 см^-1 I = 0,5 А

Енергію магнітного поля струму розраховують за формулою

де L – індуктивність системи.

Індуктивність соленоїда

де m – магнітна проникність речовини всередині котушки, m₀ – магнітна стала, n – щільність витків, V – об’єм соленоїда. Очевидно, що .

Магнітна проникність феромагнетика (а таким є залізо) не є постійною величиною, а залежить від напруженості зовнішнього магнітного поля. Цю величину можна розрахувати, виходячи зі зв’язку магнітної індукції з напруженістю , скориставшись графіком залежності магнітної індукції від напруженості (експериментальні дані):

Щоб використати графік, треба спочатку розрахувати модуль напруженості магнітного поля соленоїда за формулою

В одиницях СІ , тому . З графіка тепер знаходимо, що для заліза в цьому випадку В = 1,3 Тл.

Підставимо тепер формулу для об’єму соленоїда і вираз у співвідношення для розрахунку індуктивності:

Шукана енергія тепер

В одиницях СІ: l = 0,5 м; S = 2×10^{-4 м2}. Тому

Відповідь: 65 мДж.

Задачі для самостійного розв’язування

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 472; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!