Теорема 1. Теорема косинусов –квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
стороны треугольника и угол , противолежащий стороне .
Следствие 1.Следствие из теоремы косинусов (о связи диагоналей и сторон параллелограмма).Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
d12 + d22 = 2 a2 + 2 b2
Следствие 2.Следствие из теоремы косинусов об определении вида треугольника.
Пусть с- наибольшая сторона треугольника.
Если с2=а2+b2, то угол против с=90 градусов и треугольник прямоугольный.
Если с2<а2+b2, то угол против с<90 градусов и треугольник остроугольный.
Если с2>а2+b2, то угол против с>90 градусов и треугольник тупоугольный.
Формула 1.Формулы для вычисления длины медианы треугольника.
или
Формула 2. , угол лежит напротив стороны а.
9. Теорема синусов. Следствие теоремы синусов( о радиусе описанной окружности).
Теорема 1. Теорема синусов – стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы.
Следствие 1.Следствие из теоремы синусов (о радиусе описанной окружности). Диаметр описанной окружности около треугольника равен отношению стороны треугольника к синусу противоположного угла.
где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы, а — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
10. Свойства прямоугольного треугольника
Теорема Пифагора. В любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
|
|
Синус угла х – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла х– это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла х – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла х – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу.
Свойство: 1. В любом прямоугольном треугольнике, высота, опущенная из прямого угла( на гипотенузу), делит прямоугольный треугольник, на три подобных треугольника.
Свойство: 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу).
Свойство: 3. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Свойство: 4. Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Формула 1. , где гипотенуза;
Формула 2. , где гипотенуза; , катеты.
Свойство: 5. В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе, равна ее половине и равна радиусу описанной окружности.
|
|
Свойство: 6. Зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника:
;
;
.
11. Свойство диаметра перпендикулярного хорде.
Свойство: 1. Диаметр перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.
12. Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами.
Свойство: 1. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
13. Свойства касательной.
Определение. Касательная – прямая, имеющая только одну точку пересечения с окружностью.
Свойство: 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу проведенного в точку касания.
Свойство: 2. Две касательные проведенные из одной точки к окружности – равны.
14. Определение вписанного угла, центрального угла. Измерение их величин. Свойство вписанного угла, его связь с центральным углом, опирающимся на туже хорду.
Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность – вписанный угол.
Определение 2. Центральный угол в окружности – плоский угол с вершиной в ее центре.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Свойство: 1. Все вписанные углы, опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.
|
|
Свойство: 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр прямой.
15. Угол с вершиной внутри круга; угол с вершиной вне круга; угол межу касательной и хордой. Измерение их величин.
Свойство: 1. Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, из которых одна заключается между его сторонами, а другая между продолжениями сторон.
Свойство: 2. Угол, вершина которого лежит вне круга, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.
Свойство: 3. Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги заключенной внутри него.
16. Свойство хорд, пересекающихся в круге.
Свойство: 1. Если хорды, АВ и СD окружности пересекаются в точке S, то AS ВS=DS CS.
17. Свойство секущей и касательной, проведенной из одной точки.
Свойство: 1. Произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.
18. Свойство секущих, проведенных из одной точки.
Если из одной точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A,B,C,D соответственно, то AP ВP=CP DP.
19. Свойства вписанного и описанного четырехугольника.
|
|
Свойство: 1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равна 180 градусов.
Свойство: 2. Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
20. Правильный многогранник. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружности.
Определение 1.Правильныймногоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.Площадь правильного многоугольника
Формула 1.Для радиуса окружности, описанной около правильного n-угольника.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 378; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!