Объём шара, ограниченного сферой

Класс. Коллоквиума по геометрии

Часть 1 «Основы стереометрии»

1. Расстояние от точки до прямой; до плоскости.

Определение 1. Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Определение 2.Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости.

2. Свойство точки равноудаленной от сторон многоугольника; от вершин многоугольника.

Свойство 1. Если через центр вписанной в многоугольник окружности проведена прямая перпендикулярная плоскости многоугольника, то все точки этой прямой равноудалены от сторон многоугольника.

Свойство 2. Если через центр описанной около многоугольника окружности проведена прямая перпендикулярная плоскости многоугольника, то все точки этой прямой равноудалены от вершин многоугольника.

3. Угол между прямыми в пространстве.

Определение. Угломмеждупрямымивпространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным.

4. Угол между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостьюназывается угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

5. Угол между плоскостями.

Определение. Двугранный уголмеждуплоскостями равен углу образованному прямыми l₁ и l₂, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.( Величиной угламеждуплоскостями называется величина меньшего двугранного угла).

6. Признак параллельности прямых.

Теорема. (Признак) Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны.

7. Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема.(Признак). Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

8. Признак параллельности плоскостей.

Теорема(Признак).Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

9. Теорема о двух плоскостях пересеченных третьей.

Теорема. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые образованные этим пересечением параллельны.

10. Признак перпендикулярности плоскостей.

Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

11. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Теорема.Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

12. Теорема о трех перпендикулярах.

Теорема.Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.

13. Теорема о площади ортогональной проекции.

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Часть 2 «Тела вращения. Многогранники»

1. Куб– Правильная четырехугольная призма, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Диагональ грани

Диагональ куба

Площадь полной поверхности

Площадь боковой поверхности

Объем

2. Параллелепипед – Четырехугольная призма, каждая грань которого представляет собой параллелограмм.

Площадь полной поверхности , где S_о — площадь основания.

Площадь боковой поверхности , где Р_о — периметр основания,

h — высота

Объем .

Прямоугольный параллелепипед (прямая четырехугольная призма) каждая гранькоторой является прямоугольником.

ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД - этопараллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны основанию.

3. Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.

Площадь полной поверхности , где S_о — площадь основания.

Площадь боковой поверхности , где — периметр перпендикулярного сечения, l–длина бокового ребра.

Объем , где h — высота.

Прямая призма -этопризма, боковые рёбра которого перпендикулярны основанию.

Правильная призма-это призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Наклонная призмаПлощадь боковой поверхности , где — площадь перпендикулярного сечения, l–длина бокового ребра.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы

Площадь боковой поверхности , где — периметр перпендикулярного сечения, l–длина бокового ребра.

4. Пирамида — многогранник, основание которого —многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

Объем , где h — высота, S_о — площадь основания.

Правильная пирамида -это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а высота проецируется в центр этого многоугольника.

Площадь боковой поверхности в правильной пирамиде

где — апофема , — периметр основания.

5. Усеченная пирамида− это многогранник, заключенный между основанием пирамиды и сечением, параллельным основанию.

Площадь полной поверхности S = S_бок + S₁ + S₂

Объем усеченной пирамиды .

Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
S_бок = а(P₁ + P₂)/2,
где а − апофема (высота боковой грани), P₁, P₂ − периметры верхнего и нижнего оснований.

6. Цилиндр − это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой параллельно самой себе. Указанная прямая являетсяобразующей цилиндрической поверхности.

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра
S_бок = 2πRH

Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра
S = S_бок + 2S_осн = 2πR(H + R), где H- длина высоты , R-радиус основания

Объем прямого кругового цилиндра
V = S_оснH = πR²H.

7. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,—вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхностиконуса(площадь сегмента)
S_бок = πRl, где l- длина образующей, R-радиус основания

Площадь полной поверхностиконуса
S = S_бок + S_осн = πRl + 2πR²

Объемконуса
V = S_оснH = πR²H.

8. Усеченный конус− это геометрическое тело, заключенное между основанием конуса и сечением, параллельным основанию.

Объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса находятся по формулам где h — высота усеченного конуса, — радиусы оснований, l — длина образующей усеченного конуса.

Площадь полной поверхности
S = S_бок + S_осн1 +S_осн2

9. Сферической, поверхностью называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки. Шар — это тело ограниченное сферической поверхностью.

Площадь сферы

Объём шара, ограниченного сферой

Часть 3 «Основы планиметрии»

1. Внешний угол треугольника. Определение. Свойство.

Определение. Внешний угол – угол, дополняющий внутренний угол до 180 градусов.

Свойство: 1. Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух внутренних углов треугольника не смежных с ним.

2. Теорема о сумме углов треугольника. Следствие из теоремы.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Следствие.1. У любого треугольника хотя бы 2 угла острых.

Следствие.2.Величина внешнего угла равна сумме величин двух внутренних углов треугольника не смежных с ним.

Следствие.3.Сумма внешних углов равна 360 градусов.

3. Определение средней линии треугольника. Свойства средней линии треугольника.

Определение 1. Средняя линия треугольника– отрезок соединяющий середины двух его сторон.

Свойство: 1. Средняя линия параллельна одной из его сторон(основанию)и равна половине этой стороны.

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Определение 2. Медиана треугольника –отрезок концы которого соединяют вершины треугольника и середину противоположной стороны.

Определение 3. Биссектриса треугольника– это отрезок биссектрисы угла, от вершины до точки пересечения с противоположной стороной.

Определение 4. Высота треугольника- это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону или ее продолжение.

4. Свойства биссектрисы угла треугольника. Формула для вычисления длины биссектрисы треугольника.

Свойство: 1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам .

Свойство: 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности)

Свойство: 3. Биссектриса равноудалена от сторон треугольника.

Формула для вычисления величины биссектрис:

, где а,b стороны «прилежащие» к биссектрисе

x, y отрезки на которые биссектриса разбивает третью сторону.

5. Свойства медианы треугольника. Формула для вычисления длины медианы треугольника.

Свойство: 1. Медианы пересекаются в одной точке. (центр тяжести)

Свойство: 2.Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Свойство: 3. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Свойство: 4. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольника.

Формула для вычисления величины медианы:

или , где а,b, с стороны треугольника.

6. Центр вписанной и центр описанной окружности.

Определение 1.Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник – описанным около этой окружности.

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность и при этом только одну. Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.

Определение 2.Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема 2. Около любого треугольника можно описать окружность и при этом только одну. Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

7. Отношение периметров, площадей, высот подобных фигур.

Свойство 1.Отношение периметров и высот подобных фигур равно коэффициенту подобия

Свойство 2.Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия .

8. Теорема косинусов. Следствия: связь между диагоналями и сторонами параллелограмма; определение вида треугольника; формула для вычисления длины медианы треугольника; вычисление косинуса угла треугольника.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 230; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!