Раздел 3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ



Уравнения Максвелла

Основные уравнения электромагнитного поля, называемые уравнениями Максвелла, обобщают два основных закона электротехники: закон полного тока и закон электромагнитной индукции.

Согласно закону полного тока линейный интеграл напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равен полному току, протекающему через поверхность, ограниченную этим контуром. Полный ток складывается из токов смещения и токов проводимости:

Уравнение (3.1) называется первым уравнением Максвелла.

B соответствии c законом электромагнитной индукции, открытым Фарадеем, электродвижущая сила, возникающая в контуре при изменении магнитного потока Ф, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром, равна скорости изменения этого потока со знаком минус:

Это уравнение называют вторым уравнением Максвелла. Уравнения (3.1) и (32) представлены в интегральной форме. Для решения практических задач чаще используются уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

Здесь σ, εа,а − соответственно проводимость, абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; σе − плотность тока проводимости (т.е. тока в металлических массах),

jωεа Ε − плотность тока смещения (т.е. тока в диэлектрике).

С физической точки зрения уравнение (3.3) показывает, что изменяющееся электрическое поле создает вокруг себя магнитное поле (вихрь Н), а уравнение (3.4) − что всякое изменение магнитного поля сопровождается появлением электрического поля (вихрь). B целом изменение одного поля приводит к появлению другого поля, в результате действует и распространяется комплексное электромагнитное поле, переносящее электромагнитную энергию в пространстве и направляющих системах.

Среды могут существенно отличаться друг от друга по величине удельной проводимости в. Чем больше удельная проводимость, тем больше плотность тока проводимости. Часто для упрощения анализа используются понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Идеальный проводник − это среда c бесконечно большой удельной проводимостью, a идеальный диэлектрик − среда, не обладающая проводимостью. В идеальном проводнике может существовать только ток проводимости jпр=σЕ, a в идеальном диэлектрике − только токи смещения jсм= jωεа Ε

При рассмотрении процессов в проводниках током смещения можно пренебречь, и расчетные формулы приобретут вид:

Здесь для циркуляции тока проводимости должны иметься прямой и обратный провода, т.е. направляющая: система должна быть двухпроводной (симметричные, коаксиальные цепи, полосковые линии).

B диэлектрических нaправляющих системах (диэлектрические волноводы, световоды), а также в атмосфере преобладают токи смешения, и для их анализа пользуются уравнениями:

Так как направляющие системы имеют цилиндрическую конструкцию, то наиболее часто записывают уравнения Максвелла в цилиндрической системе координат (оси z, r, φ), при этом ось z совмещают c осью направляющей системы (рис. 3.1).

 

Рисунок 3.1 − Компоненты электромагнитного поля в цилиндрической системе координат

 

Из курса «Электродинамика» известно, что в цилиндрической системе координат уравнения Максвелла для проводников имеют вид:

После дифференцирования Нr, по φ и Нφ по r и подстановки полученных производных в указанные уравнения получим:

где  − коэффициент вихревых токов (по модулю).

Решая данное уравнение, находим Еz, величина 14 определяется из уравнения

Зная компоненты электромагнитного поля E и H, можно определить энергию, распространяющуюся вдаль проводника, a также энергию, поглощаемую или излучаемую им.

 

Теорема Умова-Пойнтинга

Теорема Умова-Пойнтинга характеризует баланс энергии электромагнитного поля. Запас электромагнитной энергии в объеме V составляет

где  − энергия электрического поля в единице объема;

 − энергия магнитного поля в единице объема.

Используя уравнение Максвелла, получим

где dS − элемент поверхности S, ограничивающий объем V.

Данное выражение носит название теоремы Умова-Пойнтинга. Левая часть выражения характеризует расход электромагнитной энергии за единицу времени, правая часть показывает, на что расходуется за единицу времени заключенная в объеме энергия.

Первый член правой части выражения (3.11) представляет собой поток энергии за единицу времени через замкнутую поверхность объема V в окружающее пространство или в объем V от внешних источников.

Количество энергии, распространяющейся в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока энергии, выражается векторной величиной

называемой вектором Умова-Пойнтинга (вектором Пойнтинга).

Второй член в соответствии c законом Джоуля-Ленца характеризует энергию внутри объема V, преобразованную в тепло за единицу времени.

Направление движения электромагнитной энергии в пространстве показывает направление вектора Пойнтинга. Теорема Пойнтинга позволяет установить связь между напряженностями полей E и H на поверхности какого-либо объема c потоком энергии, входящей в этот объем либо выходящей из него.

Например, зная компоненты электромагнитного поля Еz и Нφ можно определять энергию, распространяющуюся вдоль проводника Пz. Энергия, излучаемая в пространство, характеризуется радиальной составляющей вектора Пойнтинга Пz.

Таким образом, уравнения Максвелла дают принципиальную возможность точно решить практически любую электродинамическую задачу, включая передачу сигналов связи по различным направляющим системам в разных диапазонах частот, однако во многих случаях сложно, a порой и нецелесообразно искать точные решения на базе электродинамики. Например, в диапазоне относительно низких частот (до 108 Гц), когда длина волны передаваемых колебаний значительно превышает поперечные размеры направляющей системы D (λ>>D), имеем дело c медленно меняющимися полями, где преобладают токи проводимости (квазистационарный режим). В этом случае целесообразнее для анализа процессов в направляющих системах (воздушные линии, симметричные и коаксиальные кабели) пользоваться методами теории линейных электрических цепей, т. е. переходить от волновых процессов к колебательным.

В частотном диапазоне 1013...1015 Гц, когда λ<<D (оптические кабели), для качественной оценки работы систем переходят к лучевым процессам (методы геометрической оптики). На промежуточных частотах (1010...10-12 Гц), когда длина волны сравнима c поперечными размерами направляющей системы (λ≈D), необходимо пользоваться уравнениями Максвелла (электродинамический режим). К таким направляющим системам относятся волноводы, волоконные световоды, a также радиочастотные коаксиальные кабели.

Для канализации электромагнитной энергии в заданном направлении необходимо иметь границу раздела сред (металлдиэлектрик, диэлектрик-диэлектрик c различными диэлектрическими проницаемостями). Поэтому роль направляющей системы могут выполнять изолированные металлические проводники (воздушная линия связи, симметричный и коаксиальный кабели, ленточный кабель) или диэлектрический стержень из материала c ε> 1 (диэлектрический волновод, волоконный световод).

Все направляющие системы, исходя из физических принципов канализации электромагнитной энергии, можно разделить на две группы. К первой группе относят двухпроводные направляющие системы (коаксиальные и симметричные цепи). Характерной особенностью этик линий является наличие прямого и обратного проводов. B таких направляющих системах может распространяться так называемая поперечно-электромагнитная волна типа T. Ее особенностью является то, что она содержит только поперечные составляющие электрического (Е) и магнитного (H) полей, продольные составляющие E и H равны нулю. Силовые линии волны типа T в точности повторяют картину силовых линий поля при статическом напряжении и постоянном токе. B направляющей системе при этом преобладающим является ток проводимости (Iпр), и для расчета параметров передачи можно пользоваться телеграфными уравнениями, связывающими токи и напряжения при распространении электромагнитной энергии вдоль цепи.

Ко второй группе направляющих систем относятся волноводы различных типов. Для них характерно распространение волн высших типов (Е, H, ЕН, НЕ), которые обязательно содержат хотя бы по одной продольной составляющей поля; для волн класса E составляющая Еz≠0, а для волн класса H Hz≠0. Эти волны возбуждаются в весьма высоком частотном диапазоне. Для нахождения условий их распространения, необходимо пользоваться уравнениями Максвелла или методами геометрической оптики.

Наряду c делением на классы электромагнитные волны делят также по типам. Тип волны или мода определяется сложностью структуры, т.е. числом максимумов и минимумов поля в поперечном сечении направляющей системы.

 


Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 774; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!