Конечные и бесконечные множества
Понятия, введённые в §1 и §2, позволяют вывести из аксиом теории множеств основные свойства конечных и бесконечных множеств.
О п р е д е л е н и е. Говорят, что множество имеет элементов , и пишут , если существует последовательность с попарно различными членами и множеством значений (Она называется взаимно однозначной последовательностью с членами).
Множество называют конечным, если для некоторого ; в противном случае оно называется бесконечным.
Множество имеет 0 элементов тогда и только тогда, когда , т.к. единственной последовательностью с 0 членами является пустая последовательность.
Для каждого множество имеет элементов. Действительно, функция Jp, заданная формулой Jp(x)=x для каждого , является, согласно определению последовательности, последовательностью с попарно различными членами и множеством значений .
Теорема 1. Если функция взаимно однозначно отображает множество на , то условия и эквивалентны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если - последовательность с попарно различными членами и множеством значений , то - последовательность с попарно различными членами (см. теорему 2 §6, гл.II) и множеством значений .
Лемма. Если - взаимно однозначная функция, , и , то существует такая взаимно однозначная функция с множеством значений , что .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Если , то и функция взаимно однозначно отображает на , поэтому достаточно взять . Если , то и аналогично . Легко проверить, что функция , заданная равенствами , если и удовлетворяет лемме.
|
|
Теорема 2. Пусть . Следующие условия эквивалентны:
I.
II. Существуют множества и элемент , для которых и .
III. и, если для множества и элементы , не принадлежащие ему, , то .
Д о к а з а т е л ь с т в о.
. Пусть - последовательность с попарно различными членами и множеством значений . Взяв и , получим условие II.
. Условие непосредственно следует из II. Обозначим через и множество и элемент, удовлетворяющие условию II. Тогда и, значит, существует взаимно однозначная функция, отображающая на .
Согласно лемме, существует функция , взаимно однозначно отображающая на ; следовательно, в силу теоремы 1.
. Пусть - произвольный элемент множества и . Согласно условию III, и, значит, - множество значений некоторой последовательности с попарно различными членами. Последовательность с членами, заданная равенствами для , , имеет попарно различные члены, а множеством значений её является . Следовательно .
Теорема 3. Если , , то тогда и только тогда, когда существует такое множество , что является его взаимно однозначным образом.
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если , то . Пусть - множество значений последовательности с попарно различными членами, а - множество значений последовательности с попарно различными членами. Тогда функция взаимно однозначна и отображает на некоторые подмножества множества (т.е. ).
Обратно, предположим, что существуют множество и взаимно однозначная функция , отображающая на .
Доказательство проведём индукцией по . Если , то , поэтому и, значит, и . Пусть для некоторого , и пусть . Тогда , где и . Т.к. , то .
Множество или 1) пусть, или 2) равно .
В 1-м случае будет . Тогда поскольку , , можно применить индукцию и получить , а значит, .
Во 2-м случае в силу теоремы 2 , где . По предположению индукции , откуда , и теорема доказана.
Теорема 4. Если , и , то .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцией по .
1) Для и, значит, теорема верна.
2) Пусть теорема верна для некоторого числа , и пусть . Тогда , где , и потому , где . По предположению индукции тогда . Из Теоремы 2 следует, что . Т.к. по определению суммы , то теорема доказана.
Следствие 5. Семейство всех конечных подмножеств произвольного множества образует идеал (см. (II) §5, гл.I).
Действительно, подмножество конечного множества конечно по теореме 3, а сумма конечных множеств конечна по теореме 3 и теореме 4.
|
|
Теорема 6. Если , , то множеств является взаимно однозначным образом множества и только тогда, когда .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если , то очевидно, что - взаимно однозначный образ множества , т.к. существуют последовательности с попарно различными членами, отображающие множество соответственно на и .
Обратно, пусть - взаимно однозначный образ множества . Тогда - взаимно однозначный образ множества . Докажем по индукции, что .
1) Для теорема верна (очевидно).
2) Пусть теорема верна для некоторого , и пусть - взаимно однозначный образ множества . Поскольку , положим . Т.к. и , то, согласно лемме (между теоремой 1 и теоремой 2 настоящего параграфа), является взаимно однозначным образом множества и, значит, согласно предположению индукции, , откуда , и теорема доказана.
Следствие 7 (Принцип Дирихле). Если , , , то функция , для которой , не взаимно однозначна.
Сам Дирихле содержательно сформулировал этот принцип так:
Если предметов разместить в ящиках, , то хотя бы один ящик будет содержать не менее двух предметов.
Очевидно, что наша функция и есть как раз та функция, которая ставит в соответствие каждому предмету ящик, в который помещен этот предмет. Из доказанных теорем выведем теперь следствия для бесконечных множеств.
|
|
Теорема 8. Если бесконечно и , то и бесконечно.
Это следует непосредственно из теоремы 3.
Теорема 9. Если бесконечно, а конечно, то разность бесконечна.
Это следует из теоремы 4.
Теорема 10. Множество бесконечно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем методов от противного. Предположим, что , где . Т.к. , то в силу теоремы 3 множество имеет элементов, где - такой элемент множества , что . Т.к. для каждого , то , что приводит к противоречию выражению 4 (§1, гл.III).
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 385; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!