Наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.
Классификации систем счисления. Способы перевода из одной системы счисления в другую. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемыми цифрами.
Классификации систем счисления
Непозиционная система счисления– система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Примеры непозиционных систем счисления: унарная (единичная) система счисления, римская система счисления, алфавитная система счисления. Унарная (единичная) система счисления характеризуется тем, что в ней для записи чисел применяется только один вид знаков – палочка. Каждое число в этой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы счисления очевидны: это громоздкость записи больших чисел, значение числа сразу не видно, чтобы его получить, нужно сосчитать палочки.
В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.
|
|
|
Смешанные системы счисления - это такие системы, в которых числа, заданные в системе счисления с основанием Р изображают с помощью цифр другой системы с основанием Q, где Q < P. Такая система называется (Q-P)-ичной со старшим основанием P и младшим основанием Q.. В смешанной системе счисления во избежании разночтения для изображения каждой P-ичной цифры отводится одинаковое количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления любой P-ичной цифры. Примером смешанной системы счисления является двоично-десятичная система. В двоично-десятичной системе счисления для изображения каждой десятичной цифры отводится 4 двоичных разряда, поскольку максимальная десятичная цифра 9 кодируется как 10012. Например, 92510 = 1001 0010 01012-10. Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2 и 5 десятичной записи соответственно. Хотя в двоично-десятичной записи используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, двоичный код 1001 0010 0101 соответствует десятичному числу 2341, а не 925.
Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.
|
|
|
Непозиционные системы счисления
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.
Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.
|
|
|
Древнегреческие системы счислениянепозиционные СС. - алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.
В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики. В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок. Число 5 записывалось специальным знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков. Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". (см. слайд). Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.
|
|
|
Славянская система счисления.У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу. Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.
В старину на Руси применялась система счисления, с помощью которой сборщики податей заполняли квитанции и делали записи в податной тетради. В квитанции знаки означают: звезда – тысяча рублей, колесо – сто рублей, квадрат – десять рублей, Х – один рубль, IIIIIIIIII - десять копеек, I – копейку. Дабы нельзя было сделать никаких исправлений, все знаки очерчивались кругом прямыми линиями. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.
Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, единиц. Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11. Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах. Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.
Позиционные системы счисленияхарактеризуется тем, что количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание, равное количеству цифр (знаков в ее алфавите). Следует помнить и не забывать, что первый разряд числа является нулевым. Достоинства позиционной системы счисления 1.Простота выполнения арифметических операций.
2. Ограниченное количество символов, необходимых для записи числа.
Наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.
Десятичная система счисления имеет алфавит из десяти цифр: 0, 1, …, 9.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 539; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!