Послідовність виконання Завдання

Міністерство освіти і науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ України

Національний університет “Львівська політехніка”

 

 

ПОБУДОВА ДИНАМІЧНОЇ МОДЕЛІ ОБ’ЄКТА

КЕРУВАННЯ ЗА ПЕРЕХІДНОЮ ФУНКЦІЄЮ

Методичні вказівки

для самостійної підготовки та інструкція

до лабораторної роботи № 3

з дисципліни “Ідентифікація та моделювання технологічних об’єктів”

для студентів базового напряму 6.050202

“Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”

 

 

Затверджено на засіданні кафедри автоматизації теплових і хімічних процесів Протокол № 1 від 22.08.2011 р

 

Львів – 2011

Побудова динамічної моделі об’єкта керування за перехідною функцією: Методичні вказівки для самостійної підготовки та інструкція до лабораторної роботи № 3 з дисципліни “Ідентифікація та моделювання технологічних об’єктів” для студентів базового напряму 6.050202 (6.0925) “Автоматизація та кoмп'ютeрнo-iнтeгрoвaнi технології”/ Укладачі: Г.Б. Крих, Г.Ф. Матіко. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2011. – 23 с.

 

Укладачі	Крих Г.Б., канд. техн. наук, доц.,
	матіко Г. ф., канд. техн. наук.

Відповідальний за випуск

Пістун Є.П., докт. техн. наук, проф.

Рецензенти	Стасюк І. Д., канд. техн. наук., доц.,
	Мичуда Л.З., канд. техн. наук, доц.

Мета роботи: засвоєння методики побудови динамічної моделі об’єкта керування за його перехідною функцією, побудова динамічної моделі із застосуванням ЕОМ і перевірка її адекватності.

Необхідна підготовка: знання методів побудови динамічних моделей об’єктів керування за перехідними функціями, вміння застосовувати пакети прикладних програм для ідентифікації динамічних об’єктів в середовищі Matlab.

Основні теоретичні відомості

Методи побудови математичних моделей класифікують за рядом ознак, зокрема за способом отримання їх поділяють на аналітичні та експериментальні.

Аналітичні методи побудови моделі застосовують на стадії проектування технологічних процесів, їх розрахунку, оцінки змін технологічних параметрів, а також для побудови складних багатоконтурних систем автоматичного регулювання. В аналітичних методах моделі формують на основі фундаментальних законів, теоретичного аналізу фізико-хімічних процесів та явищ із врахуванням конструкції апаратів. Такі моделі по суті є рівняннями збереження речовини, енергії, імпульсу. В цих рівняннях враховується розподіл температур, тисків, концентрації речовини тощо. Аналітичні моделі мають параметри, які залежать від конструктивних та режимних характеристик об’єкта керування, і їх визначають в результаті експерименту. Таким чином аналітичні методи дозволяють встановити структуру моделі з точністю до кількості невідомих параметрів.

Експериментальні методи застосовують для побудови систем автоматичного регулювання. В експериментальних методах використовують стандартні лінійні моделі. Параметри емпіричних моделей, на відміну від аналітичних, фізичного змісту не мають, і є лише інструментом отримання адекватних моделей. Такі моделі не відображають фізичну суть процесів, що відбуваються в об’єкті. Емпіричні моделі можуть бути застосовані для об’єктів, які лінеаризуються в «малому» і є адекватними у вузькому діапазоні зміни вхідної і вихідної величин (в околі заданого значення), тому їх звичайно використовують для побудови систем автоматичної стабілізації технологічних параметрів. Отримані моделі можуть бути застосовані лише для об’єкта, на якому проводиться експеримент.

За методами одержання експериментальних даних методи ідентифікації поділяють на активні і пасивні. В активних методах ідентифікації на вхід об’єкта подають один з детермінованих сигналів (стрибкоподібний, імпульсний, синусоїдальний, білий шум, псевдовипадковий сигнал) і знаходять його реакцію на виході, в пасивних – вхідні і вихідні змінні об’єкта реєструються в умовах його нормального функціонування.

В експериментальних методах вибір конкретної моделі суттєво залежить від характеру збурюючої дії під час отримання експериментальних характеристик об’єкта і від можливостей дослідника використовувати комп’ютерні системи та пакети прикладних програм.

Наприклад, якщо вихідний сигнал об’єкта є реакцією на синусоїдальний сигнал, то як модель застосовують частотні характеристики. Якщо збурююча дія має стрибкоподібний або імпульсний вид, то за модель приймають звичайне лінійне диференціальне рівняння або функцію передачі. Якщо вихідний сигнал об’єкта є реакцією на збурення у вигляді випадкового процесу, то використовують інтегральні рівняння (наприклад рівняння згортки).

В практиці проектування і налагоджування систем автоматичного регулювання для побудови моделі об’єкта керування переважно користуються експериментальними методами.

Найпоширенішим методом експериментального визначення динамічних властивостей об’єктів керування є метод перехідної функції (або кривої розгону) – реакції попередньо незбуреного об’єкта на одиничний вхідний сигнал стрибкоподібної форми. На об’єктах керування, в яких технологічним регламентом не допускається тривале значне відхилення вихідної величини від заданого значення, знімають імпульсні перехідні характеристики, як реакцію на вхідний сигнал імпульсної форми. (Реакція об’єкта на -функцію називається імпульсною перехідною функцією).

Для побудови моделей за перехідними функціями (або за кривими розгону) розроблено значну кількість методів. Їх поділяють на дві групи. В першій групі методів задається структура, вигляд моделі і відома кількість параметрів моделі. Тоді задача ідентифікації зводиться до пошуку значень параметрів моделі, тобто до параметричної ідентифікації. Друга група об’єднує методи, в якихвідома структура моделі, але невідомий порядок і, відповідно наперед невідома кількість шуканих параметрів.

За типом обчислювальних алгоритмів методи ідентифікації поділяються на аналітичні, графічні та графоаналітичні. Останні два методи звичайно застосовують при ручному опрацюванні експериментальних даних і дозволяють достатньо просто та швидко отримати результат. Графічні методи, зокрема, ґрунтовно розглянуті в курсі «Теорія автоматичного керування», де за графіками експериментальних кривих розгону визначають параметри типових ланок: аперіодичних ланок першого та другого порядків, реальної диференціюючої, інтегруючої та коливної ланок. Недоліком таких методів є невисока точність отриманих моделей.

Деякі графоаналітичні методи детально описані в методичних вказівках до виконання курсової роботи з «Теорії автоматичного керування», в якій за кривою розгону знаходять модель об’єкта регулювання. В цих методичних вказівках модель представляють як функцію передачі, що складається з n послідовно з’єднаних аперіодичних ланок з однаковими або різними сталими часу та ланки запізнення. Для визначення параметрів вказаних моделей застосовують два характерних значення перехідної функції. Структура вказаних моделей є гнучкою і, незважаючи на простоту розрахунку параметрів, вони дозволяють отримати задовільну точність апроксимації кривих розгону.

Серед багатьох аналітичних методів ідентифікації динамічних об’єктів за їх експериментальними перехідними функціями є такі універсальні методи, як метод наближення за критерієм збігу моментів функцій (метод Сімою), метод асимптот (різновид методу Сімою), а також метод систем заміщення. Всі ці методи дозволяють отримати моделі у вигляді лінійних диференціальних рівнянь будь-якого порядку.

Нижче детально розглянуто метод наближення за критерієм збігу моментів функцій. В основі вказаного методу є таке правило: якщо дві функції однакові, то і моменти цих функцій є також однакові. Застосовуючи це правило до будь-якого рівняння, що має ліву і праву частини, його можна сформулювати так: будь-який момент правої частини рівняння дорівнює відповідному моменту його лівої частини.

Момент функції , заданої в множині , відносно функції  визначається рівнянням

,                            (1)

де  – вагова функція.  –  порядковий номер моменту.

З теорії автоматичного керування відомо, що поведінка лінійного динамічного об’єкта -го порядку із запізненням  з одним виходом  і одним входом  визначається розв’язком звичайного лінійного диференціального рівняння

(2)

яке компактно можна записати так

               (3)

де  і  – постійні коефіцієнти (параметри моделі); та  – похідні відповідно вихідного та вхідного сигналів. Рівність моментів лівої і правої частини рівняння (2), розрахованих відносно вагової функції  на інтервалі , запишеться у вигляді

Введемо позначення моментів

 а                 (5)

де і – порядок похідної.

З врахуванням прийнятих позначень (5) рівняння (4) набуде вигляду

          (6)

або в згорнутій формі

    .                       (7)

Фактично рівняння (4), (6), (7) – це згорнутий запис системи рівнянь, які отримують при різних вагових функціях ).

Припустимо, що відомо як розраховувати моменти  i . Тоді, вибираючи  різних функцій , одержимо систему лінійних рівнянь відносно  невідомих параметрів  і  параметрів  диференціального рівняння (2).

Якщо вхідна величина  i час запізнення  відомі, то моменти  можна обчислити з будь-яким ступенем точності. Дещо складнішим є обчислення моментів . Розглянемо деякі умови, що дозволяють спростити розрахунок цих моментів. Нехай перед збуренням об’єкт знаходився в стані спокою, що еквівалентно виконанню умови

                         (8)

а функції

                                      (9)

обмежені в інтервалі . Збурюючу дію x(t) виберемо такою, що для  вихідна величина  виходить на асимптотичне значення  (див. рис. 1). Тоді, якщо Т достатньо велика величина, то перехідний процес можна вважати завершеним і прийняти

.                            (10)

Рис.1.Перехідна функція об’єкта керування

В частковому випадку, коли збурююча дія є одиничною стрибкоподібною функцією =1 , а вагова функція  є степеневою функцією

,                                     (11)

метод побудови динамічної моделі за критерієм збігу моментів називається методом Сімою. При обранні ваговою функцією степеневої функції (11) формули (5) для розрахунку моментів  i  спрощуються. Так, для  згідно формул (5) та умовами (8)-(10) одержимо:

                            (12)

 при .

             (13)

, при .

                (14)

 при .

Аналогічно розраховують моменти  для будь-яких . Для довільних індексів, узагальнюючи результати, маємо

;

              (15)

Аналогічно розраховують моменти  членів правої частини диференціального рівняння

;                                              (16)

              (17)

Недоліком розглянутого методу побудови моделі є необхідність попереднього визначення часу запізнення, а також трудомісткість розрахунку моментів . Оскільки експериментальна крива розгону звичайно задається в дискретні моменти часу, то інтеграли в формулах розрахунку моментів необхідно розраховувати числовими методами. Тому адекватність отриманої моделі в значній мірі залежить і від точності процедур числового інтегрування.

Отже, задача ідентифікації моделі об’єкта полягає у знаходженні деякої апріорної моделі, яка забезпечує таку ж реакцію на однакові зміни вхідної величини, що і об’єкт. Для процесу ідентифікації характерне проведення пошуку: пошуку прийнятної структури моделі, пошуку відповідної моделі в рамках структури, тобто конкретного вигляду моделі тощо. Задачі ідентифікації відносяться до неоднозначних задач і тому процес побудови моделі – це ітераційний процес, який вимагає дослідження різних моделей. Перш ніж сформувати прийнятну модель доводиться відкинути декілька моделей.

В загальному оцінка параметрів моделі заданого вигляду проводиться шляхом мінімізації обраного критерію якості моделі. Звичайно критерієм є середньоквадратичне відхилення  виходів об’єкта та обраної моделі. В такому разі адекватною буде одна з конкуруючих моделей, яка забезпечить мінімум  (або суми квадратів різниці між експериментальними та розрахованими за моделлю значеннями перехідної функції). При виборі вказаного критерію параметри моделі можуть бути знайдені в результаті вирішення оптимізаційної задачі. Для простих моделей таку задачу можна вирішити відомими класичними методами математичного аналізу. В загальному розв’язок отримують різними числовими методами нелінійного програмування і пошук параметрів моделі є достатньо складний і трудомісткий та вимагає застосування пакетів прикладних програм. В середовищі Matlab доступні функції (fminsearch, lsqnonlin, fminimax тощо), які реалізують різні методи нелінійної оптимізації. Приклад застосування деяких з них для побудови моделі об’єкта регулювання за кривою розгону розглянуто в методичних вказівках до курсової роботи з «Теорії автоматичного керування». В даній лабораторній роботі буде продовжено вивчення оптимізаційних функцій Matlab для пошуку адекватної моделі об’єкта керування.

Послідовність виконання Завдання

Змістом виконання цієї лабораторної роботи є засвоєння методики побудови динамічної моделі об’єкта керування за його перехідною функцією, розрахунок параметрів динамічних моделей об’єкта у вигляді диференціальних рівнянь різного порядку із застосуванням методу Сімою та оптимізаційних функцій середовища Matlab і перевірка їх адекватності.

Завдання студент одержує у вигляді перехідної функції об’єкта керування.

В частині 1 лабораторної роботи необхідно:

1. За заданою перехідною функцією об’єкта керування побудувати динамічну модель у вигляді диференціального рівняння (2) методом Сімою. З цією метою необхідно задатись порядком  диференціального рівняння і часом запізнення (якщо потрібно) і записати систему рівнянь для визначення коефіцієнтів обраного диференціального рівняння. За формулами (15), (16) розрахувати необхідні моменти і розв’язати систему рівнянь (7) відносно коефіцієнтів обраного диференціального рівняння.

2. Побудувати перехідну функцію об'єкта за моделлю, знайденою методом Сімою, і порівняти її графічно із заданою експериментальною перехідною функцією.

3. Перевірити адекватність отриманої динамічної моделі. Для цього рoзрaхувaти значення звeдeної похибки  апроксимації перехідної функції. Якщо максимальна зведена похибка  не перевищує допустимої похибки , то отримана динамічна модель є адекватною досліджуваному об’єкту керування, якщо перевищує, то необхідно змінити або коефіцієнт передачі, або порядок моделі, або час запізнення і повторити розрахунок.

4. Оформити звіт до частини 1 лабораторної роботи.

До звіту необхідно додати:

- програму розрахунку на ЕОМ початкових моментів перехідної функції і визначення коефіцієнтів диференціального рівняння;

- результати розрахунку моментів перехідної функції, коефіцієнтів диференціальних рівнянь, зведених похибок апроксимації перехідної функції об’єкта і середньоквадратичного відхилення для всіх розглянутих моделей;

- кінцеву адекватну динамічну модель об’єкта керування у вигляді диференціального рівняння;

- графіки перехідних функцій – заданої та побудованої за знайденою моделлю;

- висновки.

В частині 2 лабораторної роботи необхідно:

1. За заданою перехідною функцією об’єкта керування побудувати динамічну модель, застосовуючи одну з оптимізаційних функцій середовища Matlab. Для цього необхідно задатись конкретним виглядом моделі (порядком  диференціального рівняння і при потребі часом запізнення), сформувати критерій якості моделі ( ), і записати програми для визначення коефіцієнтів обраної моделі. В межах обраної моделі - диференціальне рівняння -го порядку із запізненням - вибрати такий варіант моделі, який забезпечить найменше значення середньоквадратичного відхилення.

2. Побудувати перехідну функцію об'єкта за знайденою моделлю і порівняти її графічно із заданою експериментальною перехідною функцією.

3. Оформити звіт до частини 2 лабораторної роботи.

До звіту необхідно додати:

- програми для розрахунку на ЕОМ параметрів аналізованих моделей;

- результати розрахунку параметрів моделей, середньоквадратичного відхилення та зведених похибок апроксимації перехідної функції об’єкта для всіх розглянутих моделей;

- кінцеву адекватну динамічну модель об’єкта керування у вигляді диференціального рівняння;

- графіки перехідних функцій – заданої та побудованої за знайденою моделлю;

- висновки.

ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ Завдання

Частина 1

Завдання. За перехідною функцією об’єкта регулювання, значення якої представлені в таблиці, методом збігу моментів побудувати лінійну математичну модель. Допустима зведена похибка апроксимації заданої перехідної функції .

Час t, с	Вихідна величина y
0	0
9	-0.01
21	0.05
33	0.17
41	0.29
57	0.60
65	0.79
73	0.98
81	1.17
89	1.34
109	1.74
133	2.08
153	2.27
169	2.34
185	2.40
189	2.41

     Спочатку в середовищі Matlab побудуємо графік заданої перехідної функції (рис. 2).

 

Рис. 2. Задана перехідна функція об’єкта

 

Згідно з методом Сімою модель шукаємо у вигляді звичайного лінійного диференціального рівняння. З графіка перехідної функції видно, що для опису досліджуваного об’єкта необхідно застосувати диференціальне рівняння вище першого порядку, але все ж таки визначимо коефіцієнти диференціальних рівнянь з n=1,2,3, хоча б для того щоб оцінити похибки. Диференціальне рівняння третього порядку  із стрибкоподібною вхідною величиною  має вигляд

     (18)

Коефіцієнт передачі  визначаємо безпосередньо з графіка перехідної функції на рис.2: . Спочатку проаналізуємо рівняння без запізнення ( ). Для визначення інших коефіцієнтів  ( ) диференціального рівняння (18) складемо систему з трьох рівнянь у вигляді (5)

 

 

(19)

 

 

Перше рівняння системи отримане при  і відповідній ваговій функції , друге – при  і , третє – при  і . В цій системі лініями відзначене рівняння, з якого визначається невідомий параметр  диференціального рівняння першого порядку (n=1), виокремлені система з двох рівнянь для визначення параметрів  диференціального рівняння другого порядку (n=2) і система з трьох рівнянь для визначення параметрів  диференціального рівняння третього порядку (n=3).

Згідно з формулами (12), (13) значення коефіцієнтів в системі (19) . Тому з першого рівняння легко визначити параметр

,

з другого – параметр

і з третього – параметр

.

Таким чином, особливістю розв’язку системи (19) є те, що, визначивши значення параметрів диференціального рівняння третього порядку, ми одночасно визначаємо параметри диференціальних рівнянь нижчих порядків, тобто другого і першого.

     Перейдемо до розрахунку решти моментів  для заданої перехідної функції. Почнемо з моментів  – це моменти, які безпосередньо визначаються з перехідної функції. Зрозуміло, що інтеграл у виразі для визначення цих моментів можна розрахувати лише методом числового інтегрування. Для їх розрахунку застосуємо метод прямокутників

.                                                                        (20)

Тривалість перехідного процесу згідно завдання Т=189 с. Для підвищення точності наближеного розрахунку моментів за формулою (20) виберемо крок , тоді . Враховуючи, що перехідна функція задана з нерівномірним кроком, для одержання значень перехідної функції між заданими моментами часу застосуємо інтерполювання. В цьому прикладі для розрахунку проміжних значень перехідної функції в середовищі Маtlab застосовувалась функція interp1.m. В результаті розрахунку отримані такі значення моментів

m₀₀ = 246,3; m₀₁ = 32118,4; m₀₂ = 4559234,7.

Інші моменти  із системи (19) розраховувались за формулами (12)-(14)

m₁₀ = 2,5; m₁₁ = 226,2; m₁₂ = 25065,7;

m₂₁ = -2,5; m₂₂ = -452,3; m₃₂ = 5,0.

Моменти від вхідного сигналу  в правій частині рівнянь системи розраховувались за формулою (16)

; ; .

Систему (19) запишемо в матричному вигляді

,

в якому  – матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих параметрах ; –

матриця, складена з вільних членів системи (19).

Значення параметрів диференціального рівняння визначались з рівняння

.                                                      (21)

Результати розрахунку значень параметрів моделей показані в таблиці 2.

Для перевірки адекватності кожної з отриманих моделей в середовищі Маtlab були розраховані відповідні їм перехідні функції (див. рис. 3) та значення зведеної похибки  апроксимації перехідної функції і середньоквадратичного відхилення  

, ,              (22)

де  – задані експериментальні значення перехідної функції;  – значення перехідної функції, розраховані за отриманою моделлю.

Максимальні значення зведеної похибки  і середньоквадратичного відхилення  для кожної з отриманих моделей показані в табл. 2.

Таблиця 2

---

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 200; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!