Портфель ценных бумаг.
Инвестиционный портфель – это набор различных ценных бумаг, принадлежащих инвестору.
, (j = 
) – доля общего вклада, приходящаяся на j-й вид ценных бумаг.
(1)
Эффективность портфеля.
(2)
- эффективность j-й ценной бумаги.
Дисперсия портфеля.
(3)
– ковариация i и j-ых ценных б+умаг.
(4)
- коэффициент корреляции i-й и j-й бумаг.
- стандартные отклонения.
Пример.:
Параметры 3-х ценных бумаг отражены в таблице.
| Тип | 
|  , %
| σ, % |
| 0,1 | |||
| 0,7 | |||
| 0,2 |
Коэффициенты корреляции:
= 0,2
= 0,4
= 0,3
Определим эффективность и риск портфеля.
Решение.:
Подставив данные таблицы в формулу (2) получаем эффективность портфеля:
= 10 * 0,1 + 14 * 0,7 + 20 * 0,2 = 14,8 %
Дисперсию портфеля получаем согласно выражению (3), заносимому в виде:
Получаем
Риск портфеля
Это значит, что доходность может составить
На вложенные 1000 р. Получаем прибыль не 148 р., а 115 р., т.е. риск недополучения прибыли составит 33 р.
Диверсификация.
Это вложение средств в портфель состоящий из различных видов ценных бумаг.
Й случай.
Бумаги портфеля взаимно независимы. ( = 0). Пусть 
.
В этом случае дисперсия портфеля примет вид:
(5)
Пусть 
, тогда 
В итоге риск портфеля
С увеличением количества ценных бумаг риск портфеля уменьшается пропорционально 
.
Й случай.
Ценные бумаги взаимно зависимы и коэффициенты корреляции близки к 1. (
).
Дисперсия портфеля:
|
|
|
(6)
Пусть 
(все операции копируют операцию 
), тогда:
(7)
Риск портфеля:
(8)
То есть риск при диверсификации при полной прямой корреляции практически не меняется.
Для 2-х бумаг. 
Й случай.
Полная отрицательная корреляция ценных бумаг. Рассмотрим портфель из 2-х ценных бумаг.
Дисперсия портфеля:
Можно подобрать доли 
и 
таким образом, что риск портфеля станет 0 (нуль).
Пример.:
Имеется два типа акций со следующими показателями 
, 
. Сколько денег надо потратить на покупку акций, что бы риск был равен нулю.Если на покупку портфля расходуется V=100 д.е.
Определить доходность портфеля
Пример.:
Продавец решил продавать или солнечные очки или зонтики, потратив вначале на их покупку 1000 д.е. Купив только очки в случае, солнечной погоды он продаст их за 1400 д.е. (доходность 40%). Если же погода будет дождливой, он продаст их за 800 д.е. (доходность -20%). Если же продавец торгует только зонтиками, то в случае солнечной погоды он продаст их за 700 д.е. (доходность -30%), в случае дождливой погоды продаст за 1500 д.е. (доходность 50%).
Вероятность солнечной погоды 
= 0,4, вероятность дождливой 
= 0,6.
Как видим, торгуя этими товарами по отдельности, в каждом случае продавец имеет риск потерь. Определим, как он должен распределить сумму между двумя товарами, чтобы избежать риск.
|
|
|
Решение.:
Изобразим таблицу доходности по торговым операциям:
 Солнце
|   Дождь
| ||
| Вероятность | |||
| = 0,4
| = 0,6
| ||
    
| 40% | -20% | |
 
| -30% | 50% |
Средняя эффективность при торговле только одним товаром:
(Очки) 
(Зонтики) 
Стандартное отклонение:
(Очки) 
; 
(Зонтики) 
; 
Коэффициент корреляции:
Дисперсия портфеля:
Получаем систему:
Это значит, для продажи продавец должен купить очков на 572 д.е. и зонтов на 428 д.е.
Покажем, что при таком сочетании продавец сможет избежать риск в любой ситуации (дождь или солнце).
Солнечная погода. Прибыль: Доходность при солнечной погоде
прибыль от очков: 
;
убыток от зонтов: 
;
Дождливая погода. Прибыль: Доходность при дождливой погоде
убыток от очков: 
;
прибыль от зонтов: 
;
Доходность портфеля равна доходности при торговле в обеих ситуациях:
Таким образом, получили наглядный пример формализации, т.е. перевели экономический пример на язык математики (статистики). И определили, в каких долях нужно покупать товары, что бы избежать риск потерь.
Упражнение 1.
На рынке присутствуют акции двух типов А и В, которые реагируют на 3 различные ситуации следующим образом:
|
|
|
| Ситуация, шт. | |||
| N ситуации | |||
| Доходность типа А | -2 | ||
| Доходность типа В | -1 | ||
Вероятность 
| 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Определить эффективность, риск и коэффициент корреляции этих акций.
Решение:
; 
; 
Ответ: 
; 
; 
; 
; 
.
Пример 3.
На рынке имеются акции А и В (упражнение 1). Составить портфель минимального риска из этих акций. Определить доходность и риск портфеля.
Решение:
Пусть 
и 
-доли капитала, идущие на покупку:
Эффективность портфеля:
1) 
Вариация портфеля:
2) 
min
Портфель минимального риска (портфель из 2-х бумаг).
Имеются акции двух типов со следующими показателями:
; 
; 
; 
; 
Сформировать портфель минимального риска.
Решение: Пусть и -доли вклада.
Дисперсия портфеля:
min (1)
условие: 
(2)
Решаем задачу поиска условного экстремум. Составляем функцию Лагранжа.
(3)
где, 
-множитель Лагранжа. Необходимым условием экстремума является равенство нулю, частных производных.
(4)
Решив систему (4), получаем оптимальные доли:
; 
Для нашего примера получаем:
; 
Риск портфеля:
Эффективность портфеля:
(5)
Таким образом, используя диверсификацию, мы существенно снизили риск. При этом эффективность портфеля по сравнению с эффективностью 2-й бумаги уменьшилась незначительно.
|
|
|
Зависимость риска портфеля от его эффективности.
Из выражения (2) и (5) выразим и , через параметры 
и 
подставив в (1), получаем:
(8)
где коэффициенты 
-есть функции параметров.
Зависимость риска портфеля от его доходности.
Каждому выбору долей и , соответствуют 2 показателядоходность портфеля и его риск . Рассмотрим кривую АВС. Перемещаясь от точки В к точке С, увеличение доходности ведет к увеличению риска (инвестор предпочитает кривую ВС). В точке С доходность максимальна, и риск максимален. Критерием выбора долей портфеля является коэффициент вариации портфеля в точках В и С.
; 
Минимальное СV будет в точке В (её и надо выбрать).
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!