Метод простой итерации
Метод простой итерации применяется к решению нелинейного уравнения с выделенным линейным членом вида
x = j(x) (6)
и состоит в построении последовательности { xn }, начиная с некоторого заданного начального значения x 0 по правилу
xn +1 = j(xn)
Если имеет на отрезке S ={ x: | x – x 0|<d} непрерывную производную, то достаточным условием сходимости метода простой итерации является выполнение неравенства
|j¢(x)|<1 (x Î S) (7)
Если исходное уравнение имеет вид (4), то для применения метода предварительно следует преобразовать его к эквивалентному виду (5), например, следующим образом. Умножим уравнение f (x)=0 на некоторую постоянную l и сложим с тождеством x = x. Получим эквивалентное уравнение x = x +l f (x), обозначим правую часть j(x)= x +l f (x). Подбором l добиваемся, чтобы j(x) в окрестности корня удовлетворяла условию (7).
Метод простой итерации относится к классу методов с линейной скоростью сходимостью.
> restart;
> f:=t->0.5^t+2-(t-2)^2;
> x0:=1.;phi:=x+lambda*f(x);
> u:=diff(phi,x): r:=subs(x=x0,u): evalf(");
> solve(abs(r)<1,lambda);
RealRange(Open(–1.209609323), Open(0))
> eps:=0.0001: n:=0:
Gt; while abs(f(x0))>eps do
x0:=subs(lambda=-.15,x=x0,phi);
n:=n+1;
od:
> evalf(x0); n;
Метод Ньютона
Метод Ньютона применяется к уравнению f (x)=0, где f (x) – непрерывно дифференцируемая функция. Для начала вычислений требуется задание одного начального приближения x 0. Последующие приближения вычисляются по формуле
, 
, n = 0, 1, 2,…
Геометрически xn +1 является значением абсциссы точки пересечения касательной к кривой y = f (x) в точке (xn, f (xn)) с осью абсцисс, поэтому метод Ньютона называют также методом касательных.
|
|
|
Сходимость метода Ньютона квадратичная (при условии f ¢(x *)¹0).
> restart;
> f:= t->0.5^t+2-(t-2)^2; fd:=t->D(f)(t);
> x0:=1.: n:=0: eps:= 0.0001:
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!