Понятие о линейных и нелинейных уравнениях
Лабораторная работа №1
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Понятие о линейных и нелинейных уравнениях
Уравнение представляет собой выражение вида
, (1)
в котором g (x) – некоторая функция, x является неизвестной переменной, а b – некоторое число. Решением (корнем) этого уравнения называется всякое число x из области определения g (x), которое, будучи подставлено в уравнение (1), обращает его в тождество. Под термином «решение уравнения» также понимают процесс нахождения (вычисления) его корней. Решить уравнение – значит найти совокупность (множество) всех его корней. Иногда задача ставится о решении уравнения лишь на каком-либо подмножестве числовой оси x (например, на отрезке), тогда ищется совокупность корней уравнения, принадлежащих этому подмножеству.
Пусть x, b – векторы размерности n, тогда приходим к системе уравнений
,
,
…………………….
,
или в векторной записи
. (2)
В этом случае решением является не число, а числовой вектор .
Линейные уравнения вида (1) или (2) характеризуются важным свойством: функция g (x) (или вектор-функция ) удовлетворяет принципу суперпозиции, состоящему в том, что если аргумент x есть линейная комбинация (суперпозиция) двух точек
где c 1 и c 2– константы, то значение g (x) есть линейная суперпозиция значений g (x 1) и g (x 2), а именно
(3)
Легко проверить выполнение этого принципа для функций g (x)= ax (a – const) и g (x)= Ax, где A – матрица размером n ´ n.
|
|
Нелинейные функции не удовлетворяют принципу суперпозиции, например, для g = x 2 (3) не выполняется:
Этот факт лежит в основе различия линейных или нелинейных уравнений.
Линейные уравнения могут иметь
1) единственное решение;
2) бесконечное множество решений;
3) не иметь решений вовсе.
Линейные уравнения являются частным случаем нелинейных, поэтому для нелинейных уравнений возможны упомянутые выше три варианта, а также
4) имеется n решений, 2£ n <¥.
Примером четвертого варианта могут служить задачи определения корней полиномов Pn (x)= a 0+ a 1 x + a 2 x 2+…+ an xn
Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцедентные. Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцедентными.
Нелинейные уравнения принято записывать в виде
f (x) = 0, (4)
который получается из (1) путем замены f (x) º g (x) – b.
Заметим, что для уравнения (4) также можно сформулировать критерий линейности: линейные операции над аргументом x (умножение на число и добавление постоянной) не меняют вида этого уравнения.
|
|
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!