Постановка граничных условий
2.5.1. Принцип суперпозиции Кюри. Свойства объекта, находящегося под влиянием внешнего воздействия, определяются принципом суперпозиции П. Кюри [20–23]:
“Если явления и воздействия или различные внешние воздействия накладываются друг на друга, образуя единую систему, то их диссиметрии (нарушения симметрии) суммируются; в результате остаются лишь общие элементы симметрии”.
Из принципа суперпозиции Кюри следует, что напряженно-деформированному состоянию ячейки периодичности, находящейся под влиянием внешнего воздействия, присущи только те элементы симметрии, которые являются общими для ячейки в отсутствии внешнего воздействия и для внешнего воздействия в отсутствии ячейки периодичности.
В задаче о поперечном растяжении ячейки периодичности группа симметрии ячейки совпадает с группой симметрии внешнего воздействия: , причем группы симметрии состоят из элементов (2.1.2). В качестве системы образующих выбираем преобразования Ri – именно эти преобразования используются для анализа кинематических и статических граничных условий Хашина – Розена и синтеза новых граничных условий в задаче о поперечном растяжении ячейки периодичности.
2.5.2. Пропорциональность перемещений, деформаций и напряжений внешнему воздействию. Если в какой-либо линейной задаче теории упругости изменить значения граничных перемещений, поверхностных и объемных сил в одном и том же отношении
|
|
,
то перемещения, деформации и напряжения изменятся в том же самом отношении:
Заданиеæ = – 1 характеризует смену знака у внешних воздействий, что влечет за собой смену знака у полей перемещений, деформаций и напряжений.
Наряду с преобразованиями симметрии (отражениями) Ri введем в рассмотрение преобразования – отражения от плоскостей симметрии Хi = 0 с последующей сменой знака у внешнего воздействия. Преобразования используются для анализа кинематических и статических граничных условий Хашина – Розена и синтеза новых граничных условий в задачах о поперечном и продольном сдвиге.
2.5.3. Алгоритм построения граничных условий. Для определения эффективных упругих характеристик нужно решить ряд задач при граничных условиях, удовлетворяющих требованиям (2.4.2).
На основе
- принципа суперпозиции Кюри;
- пропорциональности перемещений, деформаций и напряжений внешнему воздействию;
- анализа кинематических и статических граничных условий Хашина – Розена
предлагается следующий алгоритм построения граничных условий, удовлетворяющих требованиям (2.4.2).
0. Рассматриваем однонаправленный волокнистый упругий композит с двоякопериодической структурой, компоненты которого идеально связаны между собой. Поверхности сопряжения ячеек состоят из ортогональных плоскостей. Плоскости сопряжения не являются границей раздела двух фаз компонента.
|
|
1. При помощи таблиц инвариантности 2.3 и 2.2 выясняем инвариантность компонентов вектора перемещения V и тензора напряжений t относительно преобразований :
· поперечное растяжение
(2.5.1)
5.2)
· поперечный сдвиг; продольный сдвиг
2.5.3)
(2.5.4)
неинвариантные относительно преобразований компоненты меняют знак. Устанавливаем свойства четности-нечетности компонентов вектора перемещения V.
2. На плоскостях сопряжения задаем нормальную или касательную составляющую вектора перемещения u, которая является неинвариантной относительно преобразований Pi; например, для ячейки периодичности с идентификатором (0,0):
– поперечное растяжение;
– поперечный сдвиг; продольный сдвиг;
– создаем однородное напряженно-деформированное состояние в гомогенной ячейке периодичности. Оставшиеся неинвариантные относительно преобразований Pi компоненты вектора u полагаем равными нулю.
3. Неинвариантные относительно преобразований Pi компоненты тензора напряжений , которые на соответствующей плоскости сопряжения являются компонентами вектора напряжения , полагаем равными нулю. Убеждаемся, что неинвариантные компоненты тензора напряжений , которые на соответствующей плоскости сопряжения не являются компонентами вектора напряжения , также равны нулю (на плоскостях сопряжения ячеек периодичности выполняется равенство ).
|
|
В результате указанных действий формируются граничные условия, удовлетворяющие требованиям 2.4.2. В задачах о поперечном растяжении и поперечном сдвиге (плоская деформация) получаются кинематико-статические граничные условия, а в задаче о продольном сдвиге (антиплоская деформация) – смешанные граничные условия. Заметим, что наименование граничных условий учитывает постановку задачи.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 30; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!