Свойства производных высших порядков
ТЕОРЕМА. Пусть функции , имеют производные -го порядка в точке , тогда функции , также имеют производные -го порядка в точке , причем
, (3)
, (4)
где обозначает число сочетаний из элементов по , . Формула (4) называется формулой Лейбница.
Следствие. Если – постоянная, а – функция, имеющая производную -го порядка в точке , то и функция также имеет производную порядка в точке , причем
. (5)
Далее рассмотрим производные высших порядков от сложных функций. Вначале рассмотрим производную второго порядка.
Пусть функция имеет вторую производную в точке , а функция имеет вторую производную в точке . Тогда в некоторой окрестности точки существует сложная функция , которая также имеет в точке вторую производную, причем
. (6)
Покажем справедливость данного выражения. Поскольку существуют производные и , то существуют производные и . Следовательно, функции и в точках и непрерывны. Поэтому в некоторой окрестности точки имеет смысл сложная функция . Дифференцируя ее и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем
.
Вычисляя вторую производную, получаем
,
что соответствует (6).
Аналогичным образом вычисляются производные высших порядков сложной функции. Однако в виду громоздкости соответствующие формулы мы приводить не будем.
Найдем выражение производной 2-го порядка от обратной функции. Пусть в некоторой окрестности точки функция определена, непрерывна и строго монотонна и пусть в точке существуют производные и , причем . Тогда обратная функция также имеет вторую производную в точке , причем она может быть выражена через производные и функции в точке .
|
|
Как известно, . Вычисляя произвольную по от обеих частей и вычисляя ее от правой части по правилу сложной функции, получим
. (7)
Аналогично при соответствующих предположениях вычисляются и производные высших порядков для обратной функции.
Далее рассмотрим функции , заданные параметрически:
, .
Тогда, если существуют производные и , то существует и производная , причем
. (8)
По аналогии с понятием производной можно рассмотреть и дифференциалы высших порядков. Будем для удобства использовать в некоторых случаях вместо символа дифференцирования символ , а , –выражения , .
Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Ее дифференциал
является функцией двух переменных: точки и переменной . Если функция также дифференцируема в некоторой точке , то дифференциал от функции в этой точке при фиксированном , принимает вид
. (9)
Опр. Значение дифференциала , т.е. дифференциала от первого дифференциала, называется вторым дифференциалом функции в точке :
|
|
. (10)
Аналогичным образом можно определить дифференциал -го порядка функции в точке как дифференциал от дифференциала -го порядка :
.
Можно показать справедливость равенства
, , (11)
из которого следует еще одно выражение производной -го порядка:
. (12)
Дата добавления: 2016-01-06; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!