Производные и дифференциалы высших порядков

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ

План

1. Производные и дифференциалы высших порядков.

Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Теорема Коши.
Правила Лопиталя.

Производные и дифференциалы высших порядков

Опр. Пусть функция , определенная на интервале , в каждой точке имеет производную и пусть , Производная функции в точке называется второй производной функции и обозначается или .

Таким образом,

или . (1)

Аналогично определяется производная любого порядка : если существует производная порядка , то .

При этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция .

Учитывая общее определение производной, представим производную -го порядка в виде предела:

, . (2)

Если функция имеет в точке производную порядка , т.е. что существует , то в силу определения производной существуют все производные порядка для функции и сама эта функция определена в некоторой окрестности точки .

Опр. Функция называется раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке существует производная -го порядка функции и эта производная непрерывна.