Тензор и эллипсоид инерции Земли
В геодинамике на передний план выдвигается задача изучения динамической фигуры Земли методами космической геодезии. Определение фундаментальных параметров динамической фигуры Земли на каждую эпоху могут дать необходимые данные для изучения векового изменения земной фигуры так, например, вековое уменьшение полярного сжатия и объёма Земли проявится в уменьшении главных моментов инерции Земли во времени. По этой причине будет постепенно уменьшаться абсолютна разность моментов инерции относительно полярной и экваториальной осей Земли [13, 19].
Планетарные динамические свойства Земли, зависящие от распределения масс в ее теле, можно изучать наглядно, введя образ трехосного эллипсоида инерции.
Приизучении вращательного движения твердого тела понятие о моменте инерции является центральным. Момент инерции относительно оси является скалярной величиной, характеризующей не только массу тела, но и распределение её относительно оси.
По определению момент инерции Ju тела относительно некоторой оси u задается формулой [1]:
(7.1)
где ρi – расстояние от i-той точки до оси;
mi – масса i-той точки
Пусть заданы моменты инерции тела относительно осей системы координат X, Y, Z. Тогда момент инерции относительно произвольной оси и, проходящей через начало координат, ориентировка которой известна и задана направляющими косинусами α, β,γ можно вычислить по формуле:
|
|
|
(7.2)
Или
(7.3)
- центробежные моменты, характеризующие геометрическое распределение масс.
Матрицу
называют тензором инерции тепа. Тензор инерции - важнейшая характеристика твёрдого тела.
Свяжем теперь с тензором инерции удобный геометрический образ. Для этого отложим от начала координат OXYZ вдоль оси и отрезок 
, при этом X, Y, Z - координаты точки N. Направляющие косинусы оси и в системе OXYZ будут:
(7.4)
Исключая направляющие косинусы в (7.3), получим уравнение
JxX2 + JyY2 + JzZ2 -2JxyXY - 2JxzXZ - 2JyzYZ =1 (7.5)
отображающее геометрическое место точек N для всевозможных осей и.
Это уравнение есть уравнение эллипсоида конечных размеров. Таким образом тензор инерции второго ранга однозначно определяет трёхосный эллипсоид. Эллипсоид, геометрически отображающий тензор инерции, называется эллипсоидом инерции для точки О. Таким образом, для данного тела с каждой точкой пространства связывается геометрический образ - эллипсоид инерции.
Любой эллипсоид имеет главные оси U, V, W, относительно которых его уравнение есть
(7.6)
Если полуоси эллипсоида 
то его уравнение в главных осях:
JUU2 + JVV2 +JWW2 = 1 (7.7)
Сравнивая это выражение с уравнением (7.5), замечаем, что центробежные моменты Jxy, Jxz, Jyz относительно главных осей равны нулю. В каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции – нули.
|
|
|
Систему осей, относительно которых центробежные моменты равны нулю, называют главными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей – главными моментами инерции тела.
В геодезической задаче главные оси проходят через центр инерции Земли, поэтому их называют главными центральными осями инерции Земли. Моменты инерции относительно этих осей называются главными центральными моментами инерции и обозначаются обычно через А0, В0, С0.
Моменты инерции Земли относительно осей координат принято обозначать первыми буквами латинского алфавита A, В, С, D, F, Е, а именно,
A = JX, B = JY, C = JZ, D = JYZ, E = JXZ, F = JXY
Симметрическую матрицу
(7.8)
представляющую полный спектр моментов инерции Земли, называют тензором инерции Земли.
Используя интегральные определения моментов инерции
и уже известные нам формулы
можно связать моменты инерции со стоксовыми постоянными, которые определятся при реализации динамического метода космической геодезии:
Динамическое сжатие Н Земли определяется независимо и представляет собой [24];
|
|
|
Для нахождения главных центральных моментов инерции надо по обычным правилам линейной алгебры привести квадратичную форму (7.5) кканоническому виду.
В нашей задаче, раскрыв определитель
(7.9)
получают вековое уравнение
(7.10)
корнями которого и являются главные центральные моменты инерции А0, В0, С0.
Тензор инерции второго ранга в главных осях есть диагональная матрица, составленная из главных моментов инерции. Этот тензор обозначают через
I0 = (A0, B0, C0). Главный тензор инерции не зависит от принятой системы координат и является фундаментальным параметром планетарного тела. Он зависит только от распределения масс внутри тела.
Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 192; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!