Переход от полярных к декартовым и обратно.
Связь между декартовой и полярной системами можно установить, совместив их начала координат и выразив координаты произвольной точки в обеих системах. Так, если точка имеет в декартовой системе координаты 
, а в полярной – 
, то 
, 
. Отсюда следует и обратное выражение 
, 
.
3. Что такое линия на плоскости? Как задать линию на плоскости? Что называется уравнением линии на плоскости? Текущие координаты. Виды уравнений линии. Как найти точки пересечений двух линий.
Линия на плоскости -множество точек, обладающих некоторым геометрическим свойством.
Положение линии на плоскости определяется уравнением (равенством), связывающим координаты точек линии.
Уравнением линии на плоскости Оху называется такое уравнение F(х;у)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.
Координаты Х и У в уравнении линии рассматриваются как координаты переменной точки, лежащей на линии. В уравнении линии они называются текущими координатам.
F(x;y)=0-уравнение линии
X;y-текущие координаты
Виды уравнений линии:
· 
Параметрические уравнения линии
Х=Х/t
Y=Y/t где х и у координаты точки М (х,у),лежащей на линии. Они зависят от переменной t-параметра.
· Векторное уравнение линии
r=r/t,где t-скалярный параметр. Каждому значению t соответствует радиус-вектор.
Точка пересечения двух линий.
Две линии заданы уравнениями: F(x,y)=0; Ф(х,у)=0.
|
|
|
Чтобы найти точки пересечения, надо решить систему, состоящую из этих уравнений. Каждая пара чисел будет определять точку пересечения.
1.Вводная часть:
Что такое полярная система координат? Как построить точку в полярной системе координат? Как определить координаты точки в полярной системе координат? Уравнение окружности в полярной системе координат с центром в полюсе и радиусом R. Какие линии заданы уравнениями 
и 
, записать их в декартовых координатах.
Полярная система координат- система, которая состоит из точки, которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением оси.
Чтобы построить точку в полярной системе координат, нужно:
· От оси отложить угол α
· Провести луч
· Отложить количество нужных единиц
Координаты точки в полярной системе координат определяются расстоянием от неё до полюса и углом между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением (М 
).
Уравнение окружности в полярной системе координат с центром в полюсе и радиусом R: r=R
Линии, заданные уравнениями и , называются линиями окружности в полярной системе координат.
|
|
|
2. Общее уравнение кривой второго порядка в прямоугольных декартовых координатах. Преобразования прямоугольной системы координат. Канонические уравнения кривых второго порядка. Как общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду?
Общее уравнение кривой второго порядка в прямоугольных декартовых координатах: A11x^2+2A12xy+A22y^2+2A31x+2A32y+A33=0
Преобразования прямоугольной системы координат:
Переход от одной системы координат к другой, которая осуществляется с помощью формул перехода, позволяющих по существующим координатам, определить ее координаты в другой.
Канонические уравнения кривых второго порядка:
· Элипс: x^2/a^2+y^2/b^2=1
· Гипербола: x^2/a^2-y^2/b^2=1
· Парабола: y=2px
Привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду можно двумя способами:
1) Выписать коэффициенты перед а11,2а12,а22,2а32,а33.
2) Составить инвариант: а11*а22-а12^2>0-элиптический вид
а11*а22-а12^2 <0-гиперболический тип
а11*а22-а12^2=0-параболический тип
3) а11*а22-а12^2≠0-элиптический или гиперболический тип
Определить центр линии 2-го порядка из системы
А11x0+f12y0=-a13
A12x0+a22y0=-a32 O’(x0;y0)
4) Записать формулы перехода и подставить их в исходное уравнение, при этом коэффициенты при квадратах текущих координат останутся те же, коэффициенты при 1-ой степени надо пересчитать свободный член.
|
|
|
х=х’+x0
y=y’+y0
a11(x’)^2+2a12x’y’+a22(y’)^2+a33*=0
5) Избавиться от слагаемого со смешанным произведением, для этого повернем Оху на угол α.
1 способ поворота:
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы коэффициентов
-составим характеристическое уравнение
-найдем направление осей новой системы координат. Оси направлены по собственным векторам матрицы коэффициентов.
2 способ поворота:
α=1/2arctg a11-a22/2а12
Формулы перехода
X’=x”cosα-y”sinα
Y’=x”sinα+y”cosα
Подставим в уравнение а11(x’)^2+2a12x’y’+a22(y’)^2+a33*=0
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!