Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
Теорема. Пусть в окрестности точки производные всех порядков функции ограничены одним и тем же числом : при всех и при любом . Тогда функция разлагается в в ряд Тейлора (то есть ее ряд Тейлора
сходится при всех , и его сумма равна ).
Разложение элементарных функций
В ряд Маклорена
1. Рассмотрим показательную функцию . При всех имеем: . Ряд Маклорена имеет вид:
Для каждого натурального при всех . По достаточному условию разложимости, выполненному для интервала и для , функция разлагается в ряд Маклорена в интервале , а значит, и на .
П оказательная функция раскладывается на в степенной ряд вида:
.
12. Рассмотрим функцию . Последовательно дифференцируя, получаем:
…
и т.д. Через каждые четыре дифференцирования производные повторяются. Производные всех порядков при всех ограничены: . Поэтому функция раскладывается на в степенной ряд; разложение содержит только нечетные степени и имеет вид:
.
3. Рассмотрим функцию . Последовательно дифференцируя, получаем:
…
и т.д. Через каждые четыре дифференцирования производные повторяются. Производные всех порядков при всех ограничены: . Поэтому функция раскладывается на в степенной ряд; разложение содержит только четные степени и имеет вид:
.
13. Рассмотрим функцию с областью определения . Ее производная . Функция является при суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий с начальным членом и знаменателем :
|
|
Проинтегрируем это равенство почленно по направленному отрезку , где :
.
Разложение справедливо при . Можно показать, что оно сохраняется и при .
14. Рассмотрим функцию с областью допустимых значений . Ее производная . Функция является при суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий с начальным членом и знаменателем :
Проинтегрируем это равенство почленно по направленному отрезку , где :
. (37)
При в правой части равенства (37) имеем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница. Можно показать, что в этих точках сохраняется равенство (37). При получаем:
.
Принцип умножения
Принцип умножения (принцип произведения) задаёт правило для подсчёта количества различных наборов из элементов в случае, когда последние выбираются, соответственно, по одному из конечных множеств. Благодаря этому принципу подсчёт количества вариантов во многих случаях приводит к большим числам.
1. Если для пары первый член может быть выбран из элементов , а второй — из элементов , то общее количество таких пар равно произведению .
|
|
2. Если для тройки первый элемент может быть выбран из элементов , второй — из элементов , а третий — из элементов , то общее количество троек равно произведению .
3. В общем случае (доказывается по индукции), если строится набор из элементов, причем первый член может быть выбран способами, второй — способами, и т.д., наконец, последний — способами, то общее количество -членных наборов равно произведению .
Перестановки
Определение. Перестановкой из элементов называется их расположение в определённом порядке: .
Две перестановки считаются различными, если хотя бы один элемент занимает в них разные позиции.
Теорема. Для числа перестановок справедлива формула:
. (1)
Размещения.
Определение. Размещением из различных элементов по элементов называется упорядоченный набор каких-либо из этих элементов.
Два размещения из по считаются различными, если они различаются составом и/или порядком следования входящих в них элементов.
Теорема. Для числа размещений справедлива формула:
. (2)
Сочетания.
Определение. Сочетанием из различных элементов по элементов называется набор каких-либо из этих элементов без учёта порядка их следования.
|
|
Два сочетания из по считаются различными, если они различаются составом входящих в них элементов.
Теорема. Для числа сочетаний справедлива формула:
. (3)
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 37; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!