Миграция одиночного пузырька метана в условиях

Гидратообразования

Рассмотрим всплытие газового пузырька в воде в термобарических условиях стабильности гидрата. Ось координат Oz направим вертикально вверх. Полагаем, что образуется твердая гидратная корка на границе контакта с водой. Включение, состоящее из газового ядра и гидратной корки, называют газогидратной частицей. Для массы такой частицы можем записать:

, (1)

где a_gh и a_g – радиусы частицы в целом и газового ядра, ρ _i (i = g, h) плотности фаз. Здесь и в дальнейшем нижний индекс i = g, h, l относится к параметрам газа, гидрата и воды. Полагаем, что газ в ядре частицы тратится лишь на образование гидратной корки (за пределы частицы не уходит). Тогда рост массы газогидратной частицы в процессе подъема в воде будет происходить только за счёт поглощения воды из окружающего объёма. Соответствующее уравнение для изменения массы частицы может быть записано в виде:

. (2)

Здесь j_l – массовая интенсивность поглощения воды, отнесенная на единицу площади внешней поверхности газогидратной частицы, w – скорость подъёма частицы.

Гидрат является клатратным соединением, в котором массовое содержание газа G является постоянной величиной. Поскольку общая масса газа в частице не меняется, то имеет место следующий интеграл, выражающий такое условие:

. (3)

Слагаемое в правой части соответствует исходной массе «чисто» газового пузырька, поступающего в жидкость с радиусом a_g ₀ и начальной плотностью ρ _g ₀.

Процесс подъема частицы происходит в безинерционном приближении, при котором сила Архимеда f_A, сила тяжести f_g и сила Стокса f_C уравновешены:

(4)

Для коэффициента гидравлического сопротивления ξ использовалось выражение [22]:

, (5)

где μ _l – динамическая вязкость воды.

Сжимаемостью воды и гидрата будем пренебрегать, газ примем калорически совершенным, тогда:

, . (6)

Будем пренебрегать также прочностными эффектами гидратной корки и тем самым давление газа p_g в ядре газогидратной частицы и давление жидкости p_l вокруг нее будут равны (p_g = p_l = p). Кроме того, давление по высоте распределено по гидростатическому закону, т.е.

, (7)

где p_a – атмосферное давление на горизонтальной поверхности воды, z₀ – начальная глубина, с которой начинается всплытие одиночного пузырька.

Рассмотрим первую принятую схему образования гидрата, когда рост гидратной массы происходит вследствие отвода тепла от поверхности пузырька жидкостью. Пренебрегая затратами тепла на изменение температуры всей газогидратной частицы, можем записать следующее условие баланса тепла как

(8)

Здесь q и j_h – соответственно интенсивности отвода тепла и образования гидрата, отнесенные к единице площади всей поверхности газогидратной частицы, l – удельная теплота, которая выделяется при образовании единицы массы гидрата.

Поскольку массовое содержание метана G и воды (1- G) в составе гидрата постоянно (G = const), то параметры j_l, j_h, а также j_g, выражающая интенсивность потребления газа, связаны как

(9)

Интенсивность теплообмена между газогидратной частицей и водой заданы в виде [23]:

, (10)

, , ,

где ν _l, λ _l, c_l, χ _l – соответственно кинематическая вязкость, коэффициент теплопроводности, теплоёмкость и коэффициент температуропроводности воды. Текущую температуру газогидратной частицы будем считать равной равновесной температуре фазовых переходов для текущего значения давления жидкости (T_gh = T_s (p)). Зависимость T_s (p) примем как [10,14]

(11)

где T_h ₀ – равновесная температура фазовых переходов для гидрата, соответствующая значению давления p ₀.

Согласно второй схеме, когда интенсивность гидратообразования лимитируется диффузией воды или метана через гидратную корку, возможны две предельные ситуации. Согласно первой – происходит диффузия метана к внешней поверхности газогидратной частицы, где газ мгновенно переходит в состав гидратной корки. В этом случае гидратообразования лимитируется диффузионным сопротивлением корки, будем считать гидратообразование достаточно медленным процессом. Тепловыделение гидрата также будет медленным. Поэтому температура газогидратной частицы успевает прослеживать за температурой окружающей воды (T_gh = T_l).. Обозначим – радиус газового ядра, – радиус газогидратной частицы.

В процессе формирования гидрата газ полностью переходит в состав гидрата, поэтому примем закон сохранения массы газа:

. (12)

Запишем уравнения неразрывности для газа в корке и гидрата:

, . (13)

Уравнение импульсов примем в виде:

, (14)

где - скорость всплытия газогидратной частицы, – масса газогидратного пузырька и присоединенная масса, – силы Архимеда, тяжести и сопротивления.

, , , ,

где - плотность воды, - динамическая вязкость воды

Массовый расход жидкости j_l и газа j_g на внешней поверхности гидратной корки из условия стехиометрии связаны как

. (15)

Интенсивность воды на гидратообразование на внешней поверхности корки примем на основе закона сохранения массы воды:

, (16)

а для газа согласно закону Фика[3]

, (17)

где – массовая скорость гидрата на внешней поверхности гидратной корки, D_h – коэффициент диффузии гидратной корки. Из первого уравнения (13) с учетом (17) и граничными условиями , , , квазистационарное распределение плотности газа внутри гидратной корки будет иметь вид

. (18)

Тогда интенсивность расхода газа на внешней поверхности корки (17), с учетом (29) примет вид

, (19)

где – приведенный коэффициент диффузии.

Пренебрегая прочностными эффектами гидратной корки (p_g = p) и считая гидрат несжимаемым, для массовой скорости из (13) будем иметь

. (20)

Продифференцировав уравнение сохранения массы газа (12) по времени с учетом (29), получим:

(21)

Тогда с учетом (13), (18), (19) с учетом (21) получаем уравнение для изменения внутреннего радиуса

(22)

Умножив обе части уравнения (22) на получим уравнение изменения внутреннего радиуса по высоте

(23)

где радиус общей газогидратной частицы определяется по формуле

Скорость всплытия газогидратной частицы определяется из уравнения импульсов (25)

(24)

В исходном состоянии (z = 0) радиус газогидратного пузырька, его скорость соответственно равны a = a_g ₀ и w = w ₀.

Если реализуется вторая ситуация, связанная с диффузией воды, то по аналогии с предыдущим случаем, можно записать уравнение диффузии для воды через гидратную корку с соответствующими граничными условиями