Численное интегрирование.
Задача вычисления определённого интеграла 
часто встречается в математике и практике обработки данных. Исходным моментом является геометрический смысл определенного интеграла – как известно, определенный интеграл от непрерывной функции численно равен площади, ограниченной частью графика функции y=f(x), осью O x и вертикальными линиями x=a и x=b. Большинство методов численного интегрирования используют разбиение искомой площади на элементарные площадки (криволинейные трапеции). Метод или формула численного интегрирования определяется способом нахождения площади элементарной трапеции.
Разобьём отрезок [ a,b ] на элементарные интервалы
, – (узлы)
и проведём через эти точки прямые, параллельные оси Оy. Обычно отрезки берут одинаковыми, пусть их общая длина 
.
| В простейшем методе прямоугольников площадь каждой малой криволинейной трапеции заменяется на площадь прямоугольника с основанием h и высотой, равной левой или правой ординате интервала. Соответственно получаются две формулы: левых и правых прямоугольников. | 
|
Рис. 9
Формула левых прямоугольников 
Формула правых прямоугольников 
R n называется предельной абсолютной погрешностью, и оценивается из теоретических соображений (мы эту оценку приводить не будем).
В качестве примера вычислим 
. Разобьём интервал интегрирования на 10 частей с шагом π/10 и вычислим значения подинтегральной функции в узлах 
. Для этого сперва запишем в ячейку B1 формулу =ПИ()/10 (константа π вычисляется в Excel как функция без аргументов). Узлы, представляющие арифметическую прогрессию, запишем в ячейках A3:A13, справа расположим формулы, вычисляющие синус (в ячейке B3 формула =SIN(A3), которая протаскивается на 10 ячеек вниз). Осталось выполнить суммирование. Запишем в ячейку C12 формулу =B1*СУММ(B3:B12) – левых прямоугольников, в ячейку C13 запишем формулу =B1*СУММ(B4:B13) – правых прямоугольников.
|
|
|
| Рис. 10 | 
|
В данном случае суммы совпали, но в общем случае это не так.
Если выполнить аналогичные вычисления с меньшим шагом, то результат получится ближе к точному значению интеграла, равному двум. Вычисления с шагом π/20 приведены в столбцах E:G на рисунке 10.
Суммирование ряда.
Значения многих функций можно вычислять, используя их разложение в степенные ряды. Этот способ используется, в частности, в научных калькуляторах. Вычислим значение функции ex, суммируя первые члены степенного ряда. Разложение этой функции имеет вид:
В столбце C, начиная с ячейки C2, запишем прогрессию из натуральных чисел 1,2,3…10. Будем считать, что переменная величина x находится в ячейке B1, для определённости придадим её какое-нибудь значение (0,5). В ячейке D1 запишем число 1, – это будет первым членом степенного ряда. Нетрудно заметить, что каждый последующий член ряда можно вычислить, если умножить предыдущий член на значение x и разделить на натуральный номер из столбца A. Правильная формула в ячейке D2 будет иметь вид =D1*$B$1/C2. Протащим формулу за маркер протаскивания на 10 ячеек вниз и отформатируем столбец D в соответствии с требуемой точностью, например, оставим 4 знака после десятичной запятой. В ячейке D12 выполним суммирование полученных членов ряда: =СУММ(D1:D11). Итоговая таблица приведена на рисунке слева
(столбцы C:D).
|
|
|
| Рис. 11 | 
|
Изменяя значение x в ячейке B1, будем получать результат в ячейке D12 с точностью 10-4.
Другой, немного отличающийся вариант решения задачи суммирования ряда использует библиотечную функцию РЯД.СУММ. В качестве аргументов этой функции используются адрес ячейки с аргументом x (та же ячейка B1), начальная степень n аргумента, шаг m изменения степени (у нас n = 0, m = 1) и блок с коэффициентами членов ряда. Последовательность коэффициентов можно задать единообразно выражением 
при изменении k от 0 до некоторого значения, обеспечивающего точность, для чего достаточно в ячейку G1 ввести
формулу =1/ФАКТР(E1) и "размножить" в столбце G. Этот вариант
решения представлен в правой части рисунка (столбцы F:G).
|
|
|
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 14; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!