Формулы для скорости и расхода при истечении из отверстий и насадков

Рассмотрим истечение жидкости в атмосферу из отверстия в верти­кальной стенке (рис. 8.3) при постоянном заданном уровне воды в резер­вуаре. Для определения расхода жидкости воспользуемся уравнением Бернулли в соответствии со схемой, представленной в разделе 6.2.

1. Намечаем два сечения: 1—1 и с—с.

2. Плоскость сравнения 0—0 проводим через центр тяжести сечения с—с.

3. Уравнение Бернулли представим в виде

(8.1)

В этом уравнении

кроме того, примем

v_c– неизвестная величина;

 

 

— коэффициент потерь напора на сжатии струи (согласно экспериментальным

данным, = 0,06).

4. Подставляя полученные результаты в уравнение Бернулли (8.1), после простых преобразований получаем

(8.2)

 

 

где φ ₀ — коэффициент скорости отверстия,

(8.3)

Для того чтобы найти расход, согласно формуле

 

(8.4)

необходимо знать площадь сжатого сечения ; ее обычно выражают через площадь отверстия ω:

(8.5)

где ε — коэффициент сжатия струи.

Экспериментальные исследования и теоретические решения задачи об истечении из отверстия, основанные на модели потенциального течения невязкой жидкости (см. гл. 15), показали, что значение е в случае совершен­ного сжатия колеблется в небольших пределах, так что для практических расчетов можно принять

ε= 0,62...0,64. (8.6)

Подставив (8.2) и (8.5) в (8.4), получаем формулу для расхода в виде\

(8.7)

где — коэффициент расхода отверстия.

Проведем аналогичные рассуждения для истечения жидкости из внеш­него цилиндрического насадка (насадка Вентури). В качестве расчетных сечений при записи уравнения Бернулли можно выбрать (см. рис. 8.2) свободную поверхность воды в резервуаре и выходное сечение патрубка, в котором давление можно считать равным атмосферному. В результате использования уравнения Бернулли по приведенной выше схеме полу­чим формулу для скорости в выходном сечении насадка:

(8.8)

Где коэффициент потери напора на вход в трубопровод (т.е. на сжатие потока до сечения с—с и на расширение его до размеров, опре­деляемых поперечным сечением патрубка; эксперименты показали, что — коэффициент скорости насадка, φ_н = 0,82.

Формула для расхода из насадка имеет вид

(8.9)

 

где — коэффициент расхода насадка.

Во внутреннем цилиндрическом насадке (насадке Борда), представ­ленном на рис. 8.4, потери напора на вход в трубопровод больше, так как имеет место большее сжатие потока. При этом коэффициент потерь на­пора на вход в трубопровод , а скорость и расход можно вычис­лять по формулам (8.8) и (8.9), принимая .

Как видно из приведенных выше зависимостей, несмотря на то, что потери напора в цилиндрических насадках больше, чем при истечении из отверстия, и скорость на выходе из насадка, соответственно, меньше (φ_н= 0,82 против φ_с = 0,97), расход из насадка оказывается больше, чем расход из отверстия (µ_н=0,82 против µ₀= 0,61). Это объясняется тем, что в насадке в сжатом сечении давление меньше атмо­сферного (р_с <р_а). Если записать уравнение Бернулли для сечений 1 — 1 и с—с для потока в насадке, то получим

(8.10)

 

Где для внешнего цилиндрического насадка и отверстия одинаковы, так как относительное сжатие и кинематика потока на участке от сечения 1 — 1 до сечения с—с в обоих случаях одинаковы. Следовательно, соглас­но (8.10), в сжатом сечении потока в насадке скорость больше, чем в сжатом сечении при истечении из отверстия. Поскольку площади сжатых сечений ω_с одинаковы (вследствие одинаковой кинематики), то расход из насадков больше, чем из отверстия. Вакуум в насадке оказывает подса­сывающее воздействие на поток.

 

Величину вакуума можно оценить, связав уравнением Бернулли се­чения с—с и 2—2 и приняв, что потери напора на этом участке можно вычислить по формуле Борда

(8.11)

где z_c = z₂,

Подставляя эти выражения в (8.11), найдем

(8.12)

 

Выразив v_вых через Н, согласно (8.8), и учитывая, что у цилиндри­ческого насадка площади входного и выходного сечений патрубка равны и, следовательно, Е_c-2= ε = 0,63, получим

(8.13)

Это значение (h_вак)_max и объясняет (см. зависимость (8.10)) то, что расход из внешнего цилиндрического насадка на (30...35) % больше, чем из отверстия того же диаметра.

 

 

49 Описание гидравлического удара НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ НАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР

 

Термином гидравлический удар обычно определяют изменение давле­ния в напорных трубопроводах в результате изменения во времени сред­ней скорости движения жидкости в каком-либо поперечном сечении по­тока. При этом проявляются как инерционные, так и упругие свойства жидкости и трубопровода. Рассмотрим основные особенности этого яв­ления на примере неустановившегося движения жидкости в горизонталь­ной цилиндрической трубе диаметром D и длиной L, присоединенной к резервуару (рис. 7.1); на конце трубы установлена задвижка, регулирую­щая расход жидкости. При стационарных условиях расход жидкости, вытекающей в атмосферу, поддерживается постоянным при фиксирован­ном открытии задвижки.

Для упрощения предположим, что в начальный момент времени зад­вижка частично прикрыта, так что выходная скорость за задвижкой мно­го больше, чем средняя скорость жидкости в тру­бе v₀; при этом скоро­стной напор Vo/2g и потери напора в трубе (имеющие порядок ско­ростного напора) пре­небрежимо малы по срав­нению с Н — превыше­нием свободной поверх­ности жидкости в резер­вуаре над осью трубопровода. В этих условиях напорная и пьезометрическая линии практически совпадают друг с другом и почти горизонтальны вдоль всей трубы за исключением пренебрежимо корот­кой части, непосредственно примыкающей к задвижке. Плоскость срав­нения проходит через ось трубопровода. Таким образом, перед полным закрытием задвижки в трубопроводе имеют место следующие началь­ные условия: по всей длине средняя скорость жидкости равна v = v₀, а гидродинамическое давление р₀ = pgH (давление в поперечных сечени­ях потока считаем постоянным, пренебрегая его изменением под дей­ствием силы тяжести).

Рис. 7.1. Пьезометрическая и напорная линии в трубопроводе до закрытия задвижки

Предположим, задвижка мгновенно закрывается, так что расход в плоскости регулирующего элемента задвижки мгновенно уменьшается от конечного значения до нуля. Рассмотрим, какие результаты можно полу­чить, используя модель несжимаемой жидкости для описания этого явле­ния. Наметим сечения 1—1 и 2—2 и плоскость сравнения 0—0, как пока­зано на рис. 7.1, и запишем уравнение Бернулли для неустановившегося движения (5.59) для момента времени, когда скорость сечения 2—2 мгно­венно изменилась от v₀ до 0:

z₁ + p₁/γ+α₁ ν₁²/2g = z₂ + p₂/γ + α₂ ν₂²/2g +h_f +h_ин

Согласно сделанному выше предположению о начальных условиях тече-

ния воды в трубопроводе, имеем: z₁ + p₁/γ+α₁ ν₁²/2g=H; α₂ ν₂²/2g=0; = z₂=0; h_f=0.

Поскольку жидкость несжимаема, то изменение во времени скорости во всех поперечных сечениях трубопровода такое же, как и у задвижки; сле­довательно, согласно (5.64): h_ин=-(L/g)*(dν/dt)

При мгновенном закрытии задвижки скорость жидкости во всей трубе уменьшается до нуля за бесконечно малый интервал времени, при dv

этом — -. Следовательно, давление р₇ перед задвижкой становится dt

бесконечно большим:

p₂/γ-H- h_ин=H+=(L/g)*(dν/dt)=∞ (7.1)

Поскольку бесконечно большое давление в трубопроводе существо­вать не может (оно его разрушит), следует признать, что модель несжи­маемой жидкости неприменима для описания состояния жидкости в тру­бопроводе при мгновенном закрытии задвижки. Вследствие этого для опи­сания явления, происходящего в трубопроводе в случае мгновенного зак­рытия задвижки, необходимо учитывать сжимаемость жидкости и дефор­мируемость стенок трубопровода.

В действительности в момент закрытия задвижки средняя скорость жид­кости v только в ближайшем к задвижке поперечном сечении потока (1—1 на рис. 7.2,а) уменьшается от значения v₀ до 0, а расположенные выше по течению массы жидкости, продолжая двигаться, набегают на задвижку. При этом на малой длине Дх трубопровода выше по течению от сечения 1—1 имеют место следующие явления:

образуется слой остановившейся жидкости толщиной Ах; плотность жидкости в этом слое возрастает;

давление возрастает до значения р = р₀ + р_гу, где + р_гу — дополнитель­ное давление, обусловленное силами инерции, которое назовем давлени­ем гидравлического удара',

стенки трубопровода под действием дополнительного давления р₁₇ расширяются.

Выше по течению от этого участка трубопровода длиной Дх началь­ные условия течения (скорость v₀ и давление р₀) пока остаются неиз­менными, а поток невозмущенным.

На остановившийся слой жидкости толщиной Дх набегает масса бли­жайшего (выше по течению) движущегося слоя. Этот слой останавлива

ется, ив нем плотность жидкости и давление возрастают, а стенки трубопровода расширасширяются. Аналогичным образом останавливаются следую­щие (расположенные выше по течению) массы жидкости. В результате через некоторое время после закрытия задвижки в трубопроводе образу­ются две области (см. рис. 7.2,а):

в части, примыкающей к задвижке, средняя скорость течения жид­кости v = 0, давление р = р₀ + р,_у, жидкость сжата, и стенки трубопрово­да расширены;

в части, примыкающей к резервуару, v = v₀, а р = р₀, т.е. сохраня­ются начальные условия, поток еще не возмущен в результате закрытия задвижки.

Граница между указанными областями называется фронтом гидрав­лического удара, или фронтом возмущения. Эта граница перемещается вдоль трубы со скоростью а, которая, как правило, во много раз больше скоро­сти движения жидкости; скорость а зависит от упругих характеристик жидкости и трубопровода.

В момент времени t_r = L/а фронт гидравлического удара подойдет к входному сечению трубопровода. При этом во всем трубопроводе ско­рость жидкости v = 0, давление р = р₀ + р^,, жидкость сжата, а стенки трубопровода расширены. Поскольку давление в трубопроводе превыша­ет на величину р^ давление в резервуаре вблизи входного сечения, жид­кость будет выталкиваться из трубопровода и вытекать в резервуар со скоростью v₀. Это будет происходить послойно, как ранее остановка жид­кости при закрытии задвижки. Слой за слоем начнут двигаться в сторону резервуара со скоростью v = -v₀, а давление в каждом слое упадет до значения, которое определяется уровнем воды в резервуаре. Это явление называют отражением гидравлического удара от резервуара.

В результате при t_r < t < 2t_r в трубопроводе будет иметь место следу­ющее положение (рис. 72,6):

в части, примыкающей к задвижке, средняя скорость жидкости v = О, давление р = р₀ + р_1у, жидкость сжата, стенки трубопровода расширены;

в части, примыкающей к резервуару, v = -v₀, р = р₀, т.е. жидкость не сжата, а стенки трубопровода вернулись в исходное недеформированное со­стояние.

Граница между этими областями со скоростью а движется в сторону за­движки. В момент t = 2 t_r, когда граница подойдет к задвижке, вся масса жид­кости в трубопроводе будет двигаться со скоростью v = -v₀ в сторону резер­вуара, а давление по всей длине трубопровода равно р₀. Таким образом, в этот момент картина течения похожа на картину, имевшую место перед мгновен­ным закрытием задвижки, с той лишь разницей, что теперь жидкость не на­бегает на закрытую задвижку, а пытается оторваться от нее. Полагаем, что задвижка (как и в случае набегания на нее жидкости) обеспечивает нулевые скорости движения жидкости в сечении 1—1 при попытке жидкости оторвать­ся от нее. При этом давление в сечении 1—1 (вблизи задвижки) уменьшится до значения р = р₀ - р., плотность жидкости уменьшится, а стенки трубопро­вода будут обжаты атмосферным давлением в результате понижения давления внутри трубопровода. Предполагается, что внутри трубопровода абсолютное давление достаточно велико и фазовые переходы исключены (см. гл. 1). Это явление называют отражением гидравлического удара от задвижки.

При 2t_r < t < 3t_r в трубопроводе будет иметь место следующее положе­ние (рис. 7.2,в):

в части, примыкающей к задвижке, средняя скорость жидкости v = О, давление р = р₀ - р^,, стенки трубопровода обжаты;

в части, примыкающей к резервуару, v = -v₀, р = р₀. В момент t = 3t_r, когда граница между этими областями подойдет ко входному сечению трубопровода, во всем трубопроводе скорость жидкости v = 0, а давление р = р₀ - р^ меньше, чем давление в резервуаре вблизи вхо­да в трубопровод. Под действием разности давлений жидкость из резервуара начнет поступать в трубопровод со скоростью v₀, при этом давление в трубопроводе возрастет до р₀, а его стенки вернутся в недеформированное состояние, т.е. произойдет отражение гидравлического удара от резервуара.

При 3t _r < t < 4t _г в трубопроводе будет иметь место следующее поло­жение (рис. 7.2,г):

в части, примыкающей к задвижке, средняя скорость жидкости v = О, а давление р = р₀ - р_гу, стенки трубопровода обжаты;

в части, примыкающей к резервуару, v = -v_Q, р = р₀, стенки трубо­провода недеформированы.

Когда граница между этими частями достигнет задвижки (в момент 4t_r), в трубопроводе сформируются условия, совпадающие с начальными (рис. 7.2,д), и описанный процесс изменения скорости и давлений повторится.

Гидравлический удар впервые был изучен в конце XIX века при об­следовании аварии на московском водопроводе профессором Н.Е. Жу­ковским, который хорошо известен как "отец русский авиации"; им же были предложены основные зависимости, описывающие это явление.

 

---

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!