Определения вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Достаточные условия их существования.
Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых(гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
Вертикальные асимптоты. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f (x), если выполняется хотя бы одно из условий:
или
(при этом функция f (x) может быть вообще не определена соответственно при
и
).
Замечание. Символом
обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a, символом
стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.
Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.
Наклонные асимптоты. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.
Теорема. Для того, чтобы кривая y = f (x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
(33)
или
(34)
В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. 13.
При совпадении пределов (33) и (34) прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.
|
|
|
Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).
Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.
Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Условия существования наклонных горизонтальных и вертикальных асимптот.
если (х) стремиться к +бесконечности f(x) стремиться к +бесконечности
если (х) стремиться к - бесконечности f(x) стремиться к –бесконечности
Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f (x) во всех точках интервала ] a, b [
то кривая y = f (x) вогнута в этом интервале; если же
во всех точках интервала ] a, b [, то кривая выпукла в этом интервале.
Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке 
функция f (x) имеет первую производную 
, а вторая производная 
в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через меняет знак, то
является точкой перегиба графика функции y = f (x).
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 29; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!