Числовые характеристики дискретной случайной величины

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

1 . Математическое ожидание случайной величины М (Х). Эту характеристику можно сравнивать со средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины Х.

Если известна дискретная случайная величина , закон распределения которой имеет вид:

				…
				…

то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений значений этой величины на их вероятности. Обозначение .

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайных величин и , зная законы их распределения

	-8	-4	-1	1	3	7

	-2	-1	0	1	2	3

Решение:

Получили любопытный результат: законы распределения величин

разные, а их математические ожидания одинаковы.

б)

Из рисунка б видно, что значение величины более сосредоточены около математического ожидания , чем значения величины , которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания (рисунок а).

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания является дисперсия, которая обозначается через .

2 . Дисперсия («рассеяние») случайной величины D(X). Это характеристика отклонения случайной величины Х от математического ожидания, т.е. мера разброса случайной величины. Чем больше разброс, тем больше дисперсия.

D(X)=M( )- где M( =

3 . Среднее квадратическое отклонение σ(Х) для случайной величины Х – это корень квадратный из ее дисперсии: =

Задание: Решить задачу №1 (для самопроверки решение см. в конце лекции)

№ 1. Случайная величина X задана законом распределения:

	1	3	5	7
	0,1	0,3	0,4	0,2

Вычислите выборочные характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение примеров 1 - 4 по теме Классическое определение вероятности»

Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что шар будет белым.

Решение. Обозначим А событие, (шар будет белым). Общее число исходов =5; число исходов, благоприятных событию А , m =2 . Следовательно, P (А) = = .

Пример 2. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение.

Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: n = = = = 45

Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно m = = = = 15 .

Искомая вероятность P (А) = = = .

Пример 3. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение.
Пусть событие А — «три извлеченные детали окажутся окрашенными».

Тогда P = , где m— число исходов ( комбинаций извлечения трех окрашенных деталей из десяти), благоприятствующих событию А, а n— общее число исходов (комбинаций извлечения трех деталей из пятнадцати).

m = = = = 120 .

n = = = = 455

P (А) = = = .

2 способ

P (А) = = = .

Пример 4.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение.

Пусть событие А — «абонент набрал правильно две цифры».

Число исходов, благоприятствующих событию А(цифры набраны верно), равно одному, а число всех исходов равно числу способов, которыми можно набрать две цифры из 10. Их можно набрать способами, поэтому Р(А) = = = =