Вычисление погрешности функции многих переменных.
Утверждение 3. Пусть 
- дифференцируемая функция m переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов 
, 
, … 
.Тогда если 
, то можно
использовать равенства: 
, (1.7)
(1.8)
§ 1.4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЭВМ.
Знание основных особенностей машинной арифметики необходимо для грамотного использования компьютеров при решении научно-технических задач. В ЭВМ, как известно, используются позиционные системы счисления. Основанием системы, как правило, являются степени 2. Будем проводить дальнейшие рассуждения в двоичной системе счисления.
Далее будем считать, что запись числа имеет следующий вид
, 
Пример. Запишем числа 4.25 и 0.5 в двоичной системе счисления.
4.25=4+1/4= 
=100.01
0.125 =1/8= 
=0.001
Теперь сложим эти числа: 4.25+0.125=4.375. Сложим полученные двоичные представления: 100.01+0.001=100.011=4+0.25+0.125=4.375
Рассмотрим как проходит процесс сложения на ЭВМ.
1. Числа представляются в нормализованной форме:
Далее на сумматоре у чисел выравниваются порядки по максимальному порядку и по правилам двоичной арифметики складывают числа:
получаем то же самое число 4.375.
Теперь попробуем сделать округление в двоичном коде до 6 разрядов после запятой.
Получим число: 
= 4.25. Число 0.125 как бы и не прибавилось!
|
|
|
Для вещественных чисел принята форма представления – нормализованная с плавающей точкой:
Здесь 
0 или 1. Число x нормализуется так, чтобы 
и поэтому в памяти ЭВМ хранятся только значащие цифры. Число 
называется мантиссой числа. Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы и зависит от конструктивных особенностей ЭВМ. Число p
называется порядком. Порядок записывается также двоичным числом, для хранения которого отводится l+2 двоичных разряда: 
.В учебнике в § 2.5
представлена структура ячейки для хранения вещественного числа.
Длительное время различные компьютеры отличались друг от друга числом разрядов, отводимых для хранения мантиссы и порядка, способом округления и имели различные правила машинной арифметики. Однако в настоящее время большинство компьютеров конструируются в соответствии с правилами, разработанными в 1985 году
IEEE - стандартом двоичной арифметики. (http://www.vbstreets.ru/VB/Articles/66541.aspx)
При стандартном способе записи нормализованного числа в этом стандарте под хранение
мантиссы отводится 24 разряда (включая знак), а под хранение двоичного порядка – 8 разрядов. Поскольку для нормализованного числа , то необходимости в хранении первого значащего разряда нет, и сэкономленный разряд используется для хранения еще одного двоичного разряда мантиссы.
|
|
|
Поскольку , то для мантиссы нормализованного числа справедливы оценки:
. В то же время для представления порядка используется конечное число l+1 двоичных разрядов и поэтому 
. Таким образом, для представления на компьютере нормализованных чисел имеем:
, где 
, 
Числа 
и 
называют порогом машинного нуля и порогом переполнения.
На компьютерах, удовлетворяющих стандарту IEEE, в арифметике обычной точности
, 
, поэтому 
, 
.
Наименьшее положительное представимое в ЭВМ число будем называть машинным нулем,
Наибольшее положительное представимое в ЭВМ число будем называть машинной бесконечностью.
Кроме нормализованных чисел, арифметика IEEE включает в себя и денормализованные числа – это очень малые числа из диапазона 
. Они представляются специальным образом. Например, 0 имеет нулевую мантиссу и показатель степени 
, т.е. 
.
Как мы выяснили, в компьютере представимы не все числа, а конечный набор чисел специального вида. Эти числа образуют представимое множество компьютера. Все остальные числа представляются с ошибкой, которую принято называть ошибкой представления (или ошибкой округления.)
|
|
|
В IEE арифметике округление производится по дополнению, поэтому для нормализованных чисел граница относительной погрешности представления равна 1 первого отброшенного разряда мантиссы , то есть 
. Порядок числа не влияет на относительную погрешность представления. Величина 
играет в вычислениях фундаментальную роль; ее называют относительной точностью компьютера или машинной точностью, или машинным эпсилон. Заметим, что значение этой величины определяется разрядностью мантиссы и способом округления.
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 25; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!