ПРАВИЛА ЗАПИСИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ.

ПРЕДМЕТ: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ (МММФП)

Структура дисциплины:

Лекция - каждая неделя, 1 неделя ПЗ, 2 неделя ЛЗ

РЗ 17 задач, Контрольная работа, Защиты ЛР, Экзамен.

ЛИТЕРАТУРА

1.Амосов А.А, Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы. М: Издательский дом МЭИ, 2008.

2.Казенкин К.О. Указания к решению задач по вычислительной математике. Теория погрешностей. Нелинейные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений. М: Издательство МЭИ, 2006.

3 Амосова О.А., Вестфальский А.Е., Крупин Г.В. Упражнения по основам численных методов. М: Издательство МЭИ, 2016.

4. Учебники по МathСad.

Сайт кафедры: www. mathmod. ru

Разделы: Студенту

Расчетные задания

Лабораторные работы

Файлы с методическими пособиями

Вопросы к экзаменам и зачетам

ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Материал к лекции: [1] глава 2, [2] раздел 1.

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Приступая к изложению основ вычислительной математики, следует отметить, что численные методы являются в большинстве случаев приближенными методами, т.е. позволяют получить лишь некоторое приближение к решению исходной задачи. Реализация численных методов сводится к выполнению простейших арифметических операций: сложить, умножить, разделить. При этом следует помнить, что точные результаты посредством выполнения этих операций на ЭВМ также получить нельзя из-за ограниченной разрядности компьютеров. Вопрос о величине погрешностей приобретает в теории погрешностей особое значение.

ИСТОЧНИКИ и КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Математическая модель неустранимая погрешность
Погрешность исходных данных неустранимая погрешность
Метод (алгоритм) решения задачи. методическая погрешность
Округления при вычислениях вычислительная погрешность.

ПРИМЕР. Вычисление скорости падающего с высоты h тела.

Закон сохранения энергии: mgh=mv²/2

Отсюда v=√(2gh)

Пусть - точное значение некоторой величины (в общем случае неизвестное), а - приближенное значение той же величины.

Определение. Абсолютной погрешностью числа называется число

(1.1)

Так как - неизвестно, то , как правило, вычислить нельзя. Однако можно получить оценку погрешности: . Величина называется границей абсолютной погрешности. Дальше именно ее будем принимать за величину абсолютной погрешности.

Пример 1. Число = = 1.414213562… . Обычно пользуются таким приближением :

, ,

Точное значение числа неизвестно, т.к. число иррациональное.

Очевидно, что =0.014213….., =0.004213…..

Найдем границу погрешностей для :

Чтобы соотнести погрешность величины и ее значение, вводится понятие относительной погрешности.

Определение. Относительной погрешностью числа называется число

(1.2)

Предполагается, что . Так как значения и неизвестны, то для нахождения относительной погрешности используется следующая формула:

Пример 2. Вычислим относительную погрешность числа .

Обычно в записи погрешностей удерживают 1-2 ненулевые цифры. Тогда: .

Из формул (1.1) и (1.2) вытекают такие формы записи точных чисел:

Понятие точности. Фраза «требуется найти решение с заданной точностью » означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины .

ПРАВИЛА ЗАПИСИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ.

Пусть число задано в виде конечной десятичной дроби:

Определение. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 3. 3 значащие цифры

5 значащих цифр.

Определение. Значащая цифра в записи числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 4.

Пусть , тогда в числе 4 верные цифры.

Пусть , тогда в числе 3 верные цифры.

Пусть , тогда в числе 1 верная цифра.

Замечание. Верная цифра числа не обязана совпадать с соответствующей цифрой в записи точного числа. Например, если и , то и все

цифры в его записи верные.

Используют 2 формы записи приближенных чисел:

- с явным указанием погрешности

- с учетом верных цифр.

Если приближенное число приводится в качестве результата без указания величины погрешности, то принято считать, что все цифры в его записи являются верными.

Для представления приближенного числа следует использовать округление. Существуют

2 способа округления: усечением и по дополнению.

Округление усечением. Пусть в числе требуется

оставить к разрядов после запятой:

При округлении усечением разряды с к+1 отбрасываются и получают такое число:

Абсолютная погрешность округления числа усечением до к знаков после запятой составляет .

Округление по дополнению. При округлении

по дополнению учитывают к+1 разряд: если , то к добавляют 1, в противном случае оставляют без изменения.

Абсолютная погрешность округления числа по дополнению до к знаков после запятой составляет .

При работе на ЭВМ используется нормализованная форма записи числа: , где . называется мантиссой числа, а p- порядком числа.

Пример 5.

Пусть известно, что относительная погрешность числа x равна . Это означает, что

. Следовательно, . Так как , то . А это означает, что мантисса содержит k цифр.

§1.2 ПОГРЕШНОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ.

Пусть и - приближенные числа.

Утверждение 1. Абсолютная погрешность суммы и разности приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей аргументов.

(1.3)

Доказательство.

Утверждение 2. Для относительной погрешности произведения и деления

cправедливо неравенство (без доказательства):

(1.4)

§1.3 ПОГРЕШНОСТЬ ФУНКЦИИ.

Вычисление погрешности функции одной переменной.

Пусть вычисляется функция в некоторой точке ,заданной приближенно, и для которой известно значение абсолютной погрешности .Чему равна погрешность вычисления функции ?