Проверка гипотез о параметрах распределения
Гипотеза о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии
Предположим, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение 
, причём значение 
известно. При уровне значимости 
нужно проверить гипотезу 
В качестве альтернативной можно использовать одну из следующих гипотез 
В качестве статистики используется случайная величина 
где 
- выборочная средняя, n – объём выборки. При истинной гипотезе 
случайная величина Z имеет нормированное (стандартизированное) нормальное распределение 
.
Критическую область определяют с помощью таблицы значений функции Лапласа.
Если альтернативная гипотеза имеет вид 
то используем левостороннюю критическую область (рис.1), которая удовлетворяет условию 
Учитывая, что таблицы значений функции Лапласа составлены для положительных значений аргумента, 
находится из условия
т.к. 
=
Рис.1. Рис. 2.
Если альтернативная гипотеза имеет вид 
то используем правостороннюю критическую область (рис. 2).
Критическую точку находим из условия 
или 
.
Откуда 
и 
Критическая область определяется в зависимости от альтернативной гипотезы 
При альтернативной гипотезе 
используем двухстороннюю критическую область (рис.3), удовлетворяющую условию 
|
|
|
Учитывая, что 
находим 
Рис. 3.
Пример 1. По заданной выборке
| 73 | 72 | 56 | 64 | 60 | 71 | 65 |
| 69 | 65 | 76 | 70 | 63 | 74 | 73 |
| 72 | 67 | 63 | 67 | 80 | 68 |
при уровне значимости 
проверить гипотезу о среднем значении 
при альтернативной гипотезе 
если задано стандартное отклонение 
Решение. Найдём точечные характеристики выборки:
, 
, 
.
Тогда имеем 
n = 20, 
=68.1.
Проверить 
при 
Статистика 
(1) имеет нормированное нормальное распределение.
По альтернативной гипотезе 
найдём правостороннюю критическую область 
По таблице значений функции Лапласа получаем 
. Следовательно, критическая область имеет вид 
Вычислим значение статистики по формуле (1)
Значение статистики не принадлежит критической области. Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу 
Критерии согласия Пирсона.
Пусть выдвинута гипотеза о том, что случайная выборка из генеральной совокупности может быть описана некоторой моделью с функцией распределения 
, где 
- вектор параметров, которые могут быть как известны, так и неизвестны.
Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия. Большинство критериев проверки согласия основаны на использовании меры расстояний между анализируемой эмпирической функцией распределения 
(определенной по выборке объема 
) и гипотетической моделью .
|
|
|
Рассмотрим критерии согласия 
- Пирсона..
Критерии согласия 
- Пирсона позволяет осуществлять проверку гипотезы о согласии, когда параметры модели неизвестны.
Неизвестные параметры модели могут быть заменены в модели их оценками, полученными по выборке, например по методу моментов или методу максимального правдоподобия.
Критерии согласия - Пирсона применим при 
и требует группирования выборки. При этом число интервалов группирования 
, а количество попаданий в каждый интервал 
должно быть не менее 7… 10. В противном случае соседние интервалы необходимо объединить в один, не забывая при этом корректировать 
..
Пусть высказано предположение, что ряд наблюдений 
образует случайную выборку из распределения с функцией распределения 
, где 
(т.е. тип модели считается известным, а параметры могут быть как известными, так и нет).
Требуется проверить гипотезу 
.
Процедура проверки гипотезы состоит из следующих шагов:
1. Диапазон значений исследуемой случайной величины 
разбивается на 
взаимно исключающих и непересекающихся интервалов 
.
|
|
|
2. Подсчитывается число наблюдений 
, попадающих в интервал 
, 
.
3. Вычисляется ожидаемое число наблюдений 
в интервале при условии справедливости гипотезы .
4. Вычисляется статистика 
, которая при верной имеет 
- распределение с 
степенями свободы, s- количество параметров определяемого закона распределения.
5. Гипотеза о том, что исследуемая случайная величина 
подчиняется закону распределения 
, принимается на уровне значимости , если
,
где 
- квантиль уровня 
имеет - распределение с степенями свободы; если 
, гипотеза отклоняется.
Пример. Имеем выборку, интервальный статистический ряд, которой задан.
| Номер интервала | Границы интервала | Эмпирические частоты |
| 1 | 2 - 5 | 6 |
| 2 | 5 - 8 | 8 |
| 3 | 8 - 11 | 15 |
| 4 | 11 - 14 | 22 |
| 5 | 14 - 17 | 14 |
| 6 | 17 - 20 | 5 |
Проверить с помощью критерия Пирсона при уровне значимости =0,05 гипотезу о: а) показательном; б) равномерном; в) нормальном законе распределения генеральной совокупности.
Решение. Объем выборки 
. Будем считать вариантами середины частных интервалов: 
.
|
|
|
Найдем 
; 
; 
.
а) Вычислим теоретические частоты в предположении о показательном распределении генеральной совокупности при 
:
, аналогично 
=10,37; 
=8,05; 
=6,23; 
=4,76; 
=3,64. Наблюдаемое значение критерия 
. Критическая точка 
; 
, и гипотеза о показательном распределении отклоняется.
б) Для равномерного распределения 
; 
. 
; теоретические частоты: 
; 
; 
. Наблюдаемое значение критерия 
. Критическая точка 
; , и гипотеза о показательном распределении отклоняется.
в) Теоретические частоты для нормального распределения: 
Так же вычисляются =9,9; =18,2; =19,6; =12,5; =4,7. Наблюдаемое значение критерия 
. Критическая точка 
. Поскольку 
, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 15; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!