Соответствие чисел в различных системах счисления
| Двоичная | Восьмеричная | Десятичная | Шестнадцатеричная |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 10 | 2 | 2 | 2 |
| 11 | 3 | 3 | 3 |
| 100 | 4 | 4 | 4 |
| 101 | 5 | 5 | 5 |
| 110 | 6 | 6 | 6 |
| 111 | 7 | 7 | 7 |
| 1000 | 10 | 8 | 8 |
| 1101 | 11 | 9 | 9 |
| 1010 | 12 | 10 | А |
| 1011 | 13 | 11 | B |
| 1100 | 14 | 12 | C |
| 1101 | 15 | 13 | D |
| 1110 | 16 | 14 | E |
| 1111 | 17 | 15 | F |
| 10000 | 20 | 16 | 10 |
| 10001 | 21 | 17 | 11 |
| 10010 | 22 | 18 | 12 |
| 10011 | 23 | 19 | 13 |
Другой вид табличного метода заключается в том, что имеются таблицы эквивалентов в каждой системе только для цифр этих систем и степеней основания; задача перевода сводится к тому, что в выражение ряда (3) для исходной системы счисления надо подставить эквиваленты из новой системы для всех цифр и степеней основания и произвести соответствующие действия (умножения и сложения) по правилам q2 – арифметики. Полученный результат этих действий будет изображать число в новой системе счисления.
Пример 10. Перевести десятичное число А = 113 в двоичную систему счисления, используя следующее соотношение эквивалентов и степени основания:
Десятичное число ……………. 100 101 102
Двоичный эквивалент ……….. 0001 1010 1100110
Решение. Подставив значения двоичных эквивалентов десятичных цифр и степеней основания в (4), получим
|
|
|
А=113=1*102 + 1*101 + 3*100 = 0001*1100100+0001*1010+0011*0001=11100012.
Ответ: 11100012.
Пример 11. Перевести двоичное число А2 = 11001,1 в десятичную систему счисления:
Двоичное число ……………. 0,1 00001 00010
Десятичный эквивалент …... 2-1 =0,5 20 =1 21 = 2
Двоичное число ……………. 00100 01000 10000
Десятичный эквивалент …... 22 =4 23 =8 24 = 16
Решение. А= 1*16+1*8+0*4+0*2+1*1+1*0,5=25,5 Ответ: 25,5.
Использование промежуточной системы счисления. Этот метод применяют при переводе из десятичной системы в двоичную и наоборот. В качестве промежуточной системы счисления можно использовать, например, восьмеричную систему.
Рассмотрим примеры, в которых перевод одного и того же числа в разные системы счисления осуществляется методом деления на основание новой системы. Запись будем вести в столбик, где справа от вертикальной черты записываются остатки деления на каждом шаге, в слева – целая часть частного.
Пример 12. Перевести десятичное число А = 121 в двоичную систему счисления, используя в качестве промежуточной восьмеричную систему счисления.
|
|
|
Решение. q2 = 8 q2 = 2
121 ост=1 121 ост=1
15 ост=7 60 0
1 1 30 0
15 1
7 1
3 1
1 1 Ответ:А=121= 1718=11110012.
Сравнивая эти примеры, видим, что при переводе числа из десятичной системы в восьмеричную требуются в два с лишним раза меньше шагов, чем при переводе в двоичную систему. Если при этом учесть, что восьмеричная система связана с двоичной соотношением 8 k = (23)k, то перевод из восьмеричной системы в двоичную можно осуществить простой заменой восьмеричных цифр их двоичными эквивалентами. Триада – двоичный эквивалент восьмеричных цифр.
Пример 13. Перевести двоичное число А2 = 1011,0111 в восьмеричную систему счисления.
Решение. Исходное число условно разбиваем на тирады справа налево для целых чисел и слева направо для правильной дроби. Затем заменяем каждую триаду в соответствии с нижеприведенным соответствием.
|
|
|
Восьмеричная цифра … 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичный эквивалент …000 001 010 011 100 101 110 111
А2 = 001 011, 011 100
А8 = 1 3 3 4 Ответ: 13,34.
Арифметические операции в позиционных системах счисления.
Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево. Сложение и умножение двоичных чисел выполняется по правилам:
| + | – | * |
| 0 + 0 = 0 | 0 – 0 = 0 | 0 * 0 = 0 |
| 1 + 0 = 1 | 1 – 0 = 1 | 1 * 0 = 0 |
| 0 + 1 = 1 | 1 – 1 = 0 | 0 * 1 = 0 |
| 1 + 1 = 10 | 10 – 1 = 1 | 1 * 1 = 1 |
Примеры с двоичными числами:
101001 101 10111 1100,01
|
|
|
+ 1011 + 011 + 10110 - 0,10
110100 1000 101101 1011,11
Умножение
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
× 11011 100111
1001 * 1000111
11011 100111
+ 00000 + 100111
+ 00000 + 100111
+ 11011 + 100111
11110011 101011010001
Деление
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
 | |||||
 | |||||
| | |||||
- 101001101 1001 − 333 9 11110 110
1001 100101 27 37 - 110 101
10 − 63 110
101 63 110
− 1011 0 0
1001 1001000 1000
100 - 1000 1001
− 1001 1000
1001 - 1000
0 0
Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться необходимыми таблицами.
Процессор не умеет непосредственно осуществлять операцию вычитания, поэтому вычитание приходится сводить к сложению путем представления вычитаемого в так называемом дополнительном коде. Рассмотрим прежде всего обратный код числа. Например, 1001 (исходное число), а 0110 - обратный код + 1 = 0111 дополнительный код.
Т.е. вычитание в двоичной арифметике – это сложение уменьшаемого с дополнительным кодом вычитаемого. Например, из 1012 вычесть 102
1) 102= 010, его обратный код 101
2) затем увеличив обратный код на 1 получим дополнительный код 110
3) сложим
101
+ 110 (или 5-2=3)
_______
10112
4) Отметим, что перенос из старшего результата означает, что полученный результат положителен
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется системой счисления?
2. В чем отличие позиционных систем счисления от непозиционных?
3. Как определяется процесс кодирования информации и почему в нем существует необходимость?
4. Какие единицы измерения количества информации вы знаете?
5. Почему двоичное представление информации входит в число основных принципов работы современных ЭВМ?
6. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную: 101000112 и 11010112.
7. Что такое базис естественной позиционной системе счисления?
8. Какие методы перевода чисел от одной системы счисления в другую вы знаете?
Дополнительный материал
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.
| Шестнадцатеричная: F16+616 | Ответ: 15+6 = 2110 =101012 =258 =1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21. |
Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.
| Шестнадцатеричная: F16+716+316 | Ответ: 5+7+3 =2510 =110012 =318= 916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25. |
Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25
311,28 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 201,25
C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201,25
Вычитание
Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016
Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2–1 = 141,5;
215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8–1 = 141,5;
8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16–1 = 141,5.
Умножение
Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.
Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 3•81 + 6•80 = 30.
Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.
Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865.
Деление
Пример 9. Разделим число 30 на число 6.
Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.
Восьмеричная: 133518 :1638
Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6*81 + 3*80 = 51.
Пример 11. Разделим число 35 на число 14.
Восьмеричная: 438 : 168 Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 46; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!