Перевод числовой информации из одной позиционной системы в другую.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

В процессе преобразования информации в цифровом автомате возникает необходимость перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Рассмотрим задачу перевода чисел в общей постановке. Числа в разных системах счисления можно представить следующим образом:

(4)

В общем виде задачу перевода числа из системы счисления с основанием q₁ в систему счисления с основанием q₂можно представить как задачу определения коэффициентов b_i нового ряда, изображающего число в системе с основанием q_2.Решить эту задачу можно подбором коэффициентов b_i_.Основная трудность при этом заключается в выборе максимальной степени, которая еще содержится в числе Aq₁. Все действия должны выполняться по правилам q_i – арифметики, т.е. по правилам исходной системы счисления.

После нахождения максимальной степени основания проверяют «вхождение» в заданное число всех степеней нового основания, меньших максимального. Каждая из отмеченных степеней может «входить» в ряд не более q₂– 1 раз, так как для любого коэффициента ряда накладывается ограничение:

Пример 1. Перевести двоичное число А₂ = 1101001 в десятичную систему счисления (q₂=10).

1⁶1⁵0⁴1³0²0¹1⁰ = 1*2⁶+1*2⁵ + 0*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰ = 64+32+8+1=105₁₀

Ответ: А₁₀=105

Пример 2. Перевести двоичное число А₂ = 1100 в десятичную систему счисления (q₂=10)

Переход от одной системы счисления к другой можно продемонстрировать на примере десятичного числа 12, которое в двоичном выражении выглядит так 1100.

1100 = 1*2³+ 1*2²+ 0*2 ¹ + 0*2⁰= 8+4 = 12 = 1*10¹+ 2*10 ⁰. Ответ: А₁₀=12

В этом примере числа раскладываются на разряды. Число 1100 состоит из четырех разрядов, которые пронумерованы от нуля до трех, а число 12 – из двух.

Пример 3. Перевести десятичное число А=96 в троичную систему счисления (q₂= 3).

96 = 0*3⁵ + 1*3⁴ + 0*3³+ 1*3² + 2*3¹ + 0*3⁰ = 10120₃ . Ответ: А₃ = 10120.

96 : 3 = 32 (остаток 0)

32 : 3 = 10 (остаток 2)

10 : 3 = 3 (остаток 1)

3 : 3 = 1 (остаток 0)

1 : 3= 0 (остаток 1)

Рассмотренный в примере прием может использован только при ручном переводе. Для реализации машинных алгоритмов перевода применяют следующие методы.

Перевод целых чисел делением на основание q₂ новой системы счисления.

Для перевода целого числа необходимо разделить его на основание системы счисления q и продолжать делить частное от деления до тех пор, пока частное не станет равно 0.

Последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке начиная с последнего и будет числом с основанием q.

Пример 4 . 11₁₀ - ?₂

11	2
10	5	2
1	4	2	2
	1	2	1
		0

Ответ: 1011 ₂

Пример 5.

49₁₀- ?₂ 49 2

48 24 2

1 24 12 2

0 12 6 2

0 6 3 2

0 2 1

1 Ответ: 110001 ₂

Пример 6 . 124₁₀ - ?₈ 124 8

8 15 8

44 8 1

40 7

Как мы видим, остаток от первого деления равен 4. То есть младший разряд восьмеричного числа содержит цифру 4. Остаток от второго деления равен 7, то есть второй разряд восьмеричного числа – это цифра 7. Старший разряд получислся равным 1. То есть в результате многократного деления мы получили восьмеричное число 174_8.

Из восьмеричной системы можно перевести в двоичную делением.

174₈ = ?₂ 174 2

16 76 2

14 6 37 2

14 16 2 17 2

0 16 17 16 7 2

0 16 1 6 3 2

1 1 1 1 Ответ: 1111100

Перевод правильных дробей умножением на основание q₂ новой системы счисления.

Для перевода дробной части (или числа, у которого 0 целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной двоичной.

Пример 6. Перевести десятичную дробь А = 0,5625 в двоичную систему счисления (q₂=2)

0,5625₁₀- ? ₂ 0, 5625*2

1 1250*2

0 2500*2

0 5000*2

1 0000

Ответ: 0,5625 ₁₀ – 0,10010 ₂

Пример 7. Перевести десятичную дробь А = 0,625 в двоичную систему счисления (q₂=2)

Решение. 0,625₁₀- ? ₂ 0, 625*2

1 250*2

0 500*2

1 000

Ответ: 0,625 ₁₀ – 0,1010 ₂

Пример 8. Перевести двоичную дробь А₂ = 0,1101 в десятичную систему счисления. Основание q₂изображается в двоичной системе эквивалентом q₂=1010₂.

Решение. 0, 1101

1010

b_–1=8 1000 0010

1010

b_–2=1 1001 0100

1010

b_–3=2 0010 1000

1010

b_–4=5 0101 0000

Ответ: 0,1101₂ – 0,8125 ₁₀

или 0,1^-11^-20^-31^-4 = 1*2^-1+1*2^-2 + 0*2^-3+1*2^-4= 1/ 2¹+1/2²+0/2³+1/2⁴=13/16 = 0,8125 ₁₀

Для перевода неправильных дробей из одной системы счисления в другую необходим раздельный перевод целой и дробной частей по правилам, описанным выше. Полученные результаты записывают в виде новой дроби в системе с основанием q_2.

Пример 9. Перевести десятичную дробь А = 49,625 в двоичную систему счисления (q₂=2)

Решение. Результаты перевода соответственно целой и дробной частей возьмем из примеров 5 и 7.

Ответ: А₂ = 110001,1010.

Табличный метод перевода. В простейшем виде табличный метод заключается в следующем: имеется таблица всех чисел одной системы и с соответствующими эквивалентами из другой системы; задача перевода сводится к нахождению соответствующей строки таблицы и выбору из нее эквивалента. Такая таблица очень громоздка и требует большой емкости памяти для хранения.

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!